Dowód iloczynu Eulera

[NauczycielMatematyki]

Dzień dobry,
znalazłem dowód Twierdzenia:

Dla \(\displaystyle{ \Re(s) > 0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1 - p^{-s} \right)^{-1}}\)
W tym sensie, że obie strony zbiegają do tej samej wartości.

Oto on:

Weźmy \(\displaystyle{ \sigma = \Re(s)}\). Następnie


\(\displaystyle{ | n^{-s} | = n^{- \sigma},}\)

a zatem

\(\displaystyle{ |\sum_{M=1}^{N} n^{-s}| = \sum_{M=1}^{N} n^{- \sigma}.}\)

Teraz

\(\displaystyle{ n^{- \sigma} \le \int_{n-1}^n x^{-\sigma} \text{dx}.}\)



A więc:

\(\displaystyle{ \sum_{M=1}^N n^{-\sigma} = \int_{M}^{N} x^{-\sigma} \text{dx} = \frac{1}{\sigma} \left( M^{-\sigma} - N^{-\sigma} \right) \to 0, \text{ gdzie } M,N \to \infty.}\)


Stąd \(\displaystyle{ \sum n^{-s}}\) jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.

Z drugiej strony,

\(\displaystyle{ \prod_{p} \left(1 - p^{-s}\right)}\) jest bezwzględnie zbieżny, ponieważ:


\(\displaystyle{ \sum |p^{-s}| = \sum p^{-\sigma} < \sum n^{-\sigma}}\)


Stąd \(\displaystyle{ \prod(1 - p^{-s})}\) jest zbieżne na mocy Twierdzenia (...). Dlatego


\(\displaystyle{ \prod \left(1-p^{-s} \right)^{-1}}\)


Aby zobaczyć, ze obie strony są równe, zapiszmy:


\(\displaystyle{ \prod_{p < N} \left( 1 - \chi (p)p^{-s} \right)^{-1} = \sum_{n \le N} \chi (n)n^{-s} + \sum^{'} \chi(n)n^{-s},}\)

gdzie druga suma po prawej rozciąga się na te \(\displaystyle{ n > N}\), z których wszystkie
czynniki pierwsze są \(\displaystyle{ \le N}\).

Przy \(\displaystyle{ N \to \infty}\) prawa strona dąży do \(\displaystyle{ \sum n^{-s}}\), ponieważ ta suma jest bezwzględnie zbieżna. Podczas, gdy z definicji lewa strona dąży do \(\displaystyle{ \prod \left( 1 - p^{-s} \right)^{-1}}\), więc obie strony dążą do tej samej wartości. (c.b.d.o.)

Niestety nie udało mi się w tej pracy dotrzeć do wyjaśnienia tej linijki:

\(\displaystyle{ \prod_{p < N} \left( 1 - \chi (p)p^{-s} \right)^{-1} = \sum_{n \le N} \chi (n)n^{-s} + \sum^{'} \chi(n)n^{-s}}\)

Może ktoś wie co to takiego ta funkcja: \(\displaystyle{ \chi(p)}\) i taka suma \(\displaystyle{ \sum^'}\)?
Bo tych dwóch rzeczy nie mogłem znaleźć ani w internecie ani w pracy, z której wziąłem dowód. Link do pdf źródła:

Kod: Zaznacz cały

https://www.maths.tcd.ie/pub/Maths/Courseware/428/Primes-II.pdf

[Legisl]

Funkcja \(\displaystyle{ \chi(p)}\) to funkcja licząca liczby zespolone postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) należą do zbioru liczb całkowitych, które to są osadzone na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) i środku \(\displaystyle{ (0,0i)}\) , innymi słowy wartość \(\displaystyle{ \chi(p)}\) to ilość liczb zespolonych o współczynnikach całkowitych, które należą do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\). Polecam ci zajrzeć do filmu na you-tube, autorstwa użytkownika o nazwie "3Blue1Brown" pt. "Pi ukryte w regularnościach liczb pierwszych". Przedstawia tam animacjami wysokiej klasy, czym jest funkcja \(\displaystyle{ \chi(p)}\) , faktoryzacje liczb naturalnych poprzez analizę zespoloną.
Pozdrawiam

[Dasio11]

Gdybyś obejrzał ten filmik dokładnie, to wiedziałbyś, że \(\displaystyle{ \chi(n)}\) nie jest liczbą punktów kratowych na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\), a zaledwie występuje we wzorze na tę liczbę. Co ważniejsze, wystąpienie funkcji \(\displaystyle{ \chi}\) w dowodzie wzoru z iloczynem Eulera wygląda na pomyłkę - chodziło po prostu o równość

\(\displaystyle{ \prod_{p \le N} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n \le N} n^{-s} + \sum n^{-s}}\),

gdzie druga suma - tak jak napisano w skrypcie - przebiega wszystkie liczby \(\displaystyle{ n > N}\), w których faktoryzacji nie występują liczby pierwsze większe niż \(\displaystyle{ N}\). Prim nad drugą sumą nie ma znaczenia.