Liczba e

[NauczycielMatematyki]

Jak to się dzieje, ze suma liczb wymiernych daje niewymierną?

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} = e}\)

[Premislav]

Normalnie i po ludzku, tych liczb nie jest skończenie wiele. Suma skończenie wielu liczb wymiernych jest wymierna.
Masz jakieś pojęcie o teorii granic (suma zbieżnego szeregu to granica ciągu sum częściowych), czy coś? Chyba nie bardzo, inaczej byłoby to jasne.

[Janusz Tracz]

To jest dokładnie to samo co granica ciągu liczb wymiernych dająca liczbę niewymierną. To nic niezwykłego takich przykładów jest dużo:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left\lfloor n \pi \right\rfloor}{n}= \pi}\)

Tu ciągiem liczb wymiernych jest \(\displaystyle{ e_n=\sum_{k=0}^{ n } \frac{1}{k!}}\) dla którego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }e_n=e}\)

[Jan Kraszewski]

No cóż, każda liczba jest (być może nieskończoną) sumą liczb wymiernych - wystarczy popatrzeć na rozwinięcia dziesiętne...

JK

[arek1357]

Będę może tym złym i zadam pytanie przewrotne:

Jakie mogą być wyniki nieskończonych sum liczb niewymiernych...

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^2}= \frac{ \pi ^2}{6}}\)

Więc

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{6}{ \pi ^2} \cdot \frac{1}{n^2}= 1}\)

czyli nieskończone sumy liczb niewymiernych mogą dać wymierną. Zresztą można już wcześniejszy przypadek wykorzystać i napisać że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{e_n}{e}=1}\)

[arek1357]

nieskończone sumy liczb niewymiernych mogą dać wymierną

Brawo pasuje jeszcze dać przykład, że nieskończone sumy niewymiernych dadzą niewymierną,
j tu zapodam taki prymitywny przykładzik a ktoś to może rozwinie...

\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\left( \sqrt{2}- \sqrt{2} \right) + \left( \sqrt{2}- \sqrt{2} \right)+... \infty = \sqrt{2}}\)

[NauczycielMatematyki]

Bnieskończone sumy niewymiernych dadzą niewymierną,
j tu zapodam taki prymitywny przykładzik a ktoś to może rozwinie...

\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\left( \sqrt{2}- \sqrt{2} \right) + \left( \sqrt{2}- \sqrt{2} \right)+... \infty = \sqrt{2}}\)

Mam wątpliwości czy składnik \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}- \sqrt{2} \right)}\) jest liczbą niewymierną. A biorąc pod uwagę, że w odejmowaniu łączności nie ma, to (chyba) właśnie to trzeba jako składnik sumy potraktować.


P.S. Dziękuję wszystkim za odpowiedź i wyrozumiałość.

[arek1357]

Fakt mój przykład głupi no czekamy na lepsze...

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^2}= \frac{ \pi ^2}{6}}\)

Można pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i przykład (na niewymierną sumę dającą niewymierny wynik) gotowy. Wypada jeszcze udowodnić że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \pi^2}\) jest istotnie niewymierne ale to przemilczę. To tylko przykład konstrukcji nie miejcie mi za złe że nie udowadniam tego, iż faktycznie te liczby są niewymiatanie można tak dobrać że będzie to łatwiejsze.

[PoweredDragon]

Skorzystajmy z tego, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{2^n} = x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\)

[NauczycielMatematyki]

A mam pytanie jeszcze do Was. Załóżmy, że jest w matematyce jakaś stała, którą definiuję się tylko za pomocą granic (Eulera-Mascheroniego?) - wówczas jest sens brania się za dowodzenie wymierności takiej stałej?

[leg14]

A czemu nie?
Nie wiem czy znajdziesz stałą "zdefiniowaną tylko przy pomocy granic".
Np. wspomnianą stałą E-M można wyznaczyć jako wartość pochodnej funkcji gamma w jakimś tam punkcie (z przeciwnym znakiem)

[PoweredDragon]

Załóżmy, że logarytm naturalny nie jest zdefiniowany.

Zdefiniuj mi \(\displaystyle{ e}\) nie korzystając z granic?

Jeśli \(\displaystyle{ \ln x}\) jest zdefiniowany, to powiedz jak go definiujesz (bo oczywiście nie korzystasz z granic?)

leg14*
Ale pochodna i funkcja gamma to przecież granice


EDIT:
Poprawka błędnego nicku

[leg14]

To do mnie jest odpowiedź?