Rozszerzenie ułamka

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że dowolny nieskracalny ułamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) , gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest nieparzyste można przedstawić w formie \(\displaystyle{ \frac{m}{2^n-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ m, n}\) są liczbami naturalnymi

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) jest nieparzyste, to oczywiście \(\displaystyle{ (q,2)=1}\) i dla \(\displaystyle{ n=\phi(q)}\) (wartość funkcji Eulera) mamy
\(\displaystyle{ 2^n\equiv 1\pmod{q}}\), tj. dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) jest
\(\displaystyle{ 2^n-1=kq}\). Bierzemy takie \(\displaystyle{ k}\) i rozszerzamy przez nie ułamek
(można też udowodnić istnienie odpowiedniego \(\displaystyle{ n}\), i co za tym idzie \(\displaystyle{ k}\), niekonstruktywnie, z Dirichleta, rozważając reszty \(\displaystyle{ 2^1, \ldots 2^{q+1}}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ q}\) – któreś się powtórzą i wtedy różnica odpowiednich potęg…).