Dowodu Eulera o nieskończoności liczb pierwszych

[NauczycielMatematyki]

Dzień dobry,
mam przyjemność zajmować się teraz liczbami harmonicznymi. Jak wiadomo dowód o nieskończoności liczb pierwszych przedstawiony przez wybitnego matematyka jakim był Euler opiera się na liczbach harmonicznych dlatego też przyszło mi się z nim zmierzyć.

Podczas próby zrozumienia natrafiłem na coś czego pojąć nie umiem.

Zacznę dowód od początku i zatrzymam się w miejscu, które jest dla mnie niezrozumiałe:

Przypuśćmy, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych, oznaczmy je przez \(\displaystyle{ p_1,p_2, \dots, p_n}\). Rozważmy szeregi:

\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{p_k} + \frac{1}{p_k^2} + \dots, \; 1 \le k \le n.}\)

Szeregi te są zbieżne jako szeregi geometryczne o wyrazach \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{p_k}\right| <1}\). Zatem ich sumy \(\displaystyle{ S_{p_k}}\) są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}}}\).
Zatem:

\(\displaystyle{ S = \prod_{k=1}^n \left( \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}}\right)}\)

Nie wiem skąd to się wzięło. Dlaczego iloczyn?

[Premislav]

Trochę brakuje ścisłości, m.in. nie napisano, co to jest \(\displaystyle{ S}\) (choć można się łatwo domyślić). Ja tak to widzę: przypuśćmy nie wprost, że istnieje jedynie skończenie wiele, powiedzmy \(\displaystyle{ n}\), parami różnych liczb pierwszych. Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ p_1, \ p_2, \ldots p_n}\). Każdą liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ k}\) możemy przedstawić jednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i\in \NN}\) (przyjmuję, że zero jest naturalne). Wówczas liczba
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{p_i^{\alpha_i}}}\) powstaje jako jeden ze składników przy wymnożeniu
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}\right)}\)
(po rozwinięciu ich w szeregi geometryczne),
tak jak się mnoży zbieżne szeregi, patrz iloczyn Cauchy'ego.
Czyli \(\displaystyle{ S= \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k}\), ale to jest sprzeczność, gdyż
\(\displaystyle{ S}\) jest skończona jako iloczyn skończenie wielu liczb rzeczywistych, a
szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k}\)
jest rozbieżny
(co wynika np. z tego, że jeśli oznaczymy
\(\displaystyle{ S_m= \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k}}\), to
\(\displaystyle{ S_{2^j}-S_{2^{j-1}} \ge \frac 1 2}\) dla \(\displaystyle{ j=1,2\ldots}\)).

[NauczycielMatematyki]

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i}}\)

Mógłbym poprosić przykład? Na przykład, jak przedstawić w takiej postaci liczbę \(\displaystyle{ 10}\)?

[Premislav]

\(\displaystyle{ 10=2^1\cdot 5^1}\), no i jeszcze potencjalnie dużo czynników z wykładnikiem zero.
Ogólnie korzystam tu z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawowe_twierdzenie_arytmetyki

.
Ale nie widzę możliwości, by nie skorzystać z tego w dowodzie wykorzystującym to podejście z szeregami (nie znaczy to, że z całą pewnością takiej możliwości nie ma).

[NauczycielMatematyki]

\(\displaystyle{ p_1 = 2, p_2 = 5, \alpha_1 = \alpha_2 = 1}\)

Trochę dziwnie to wygląda.

[Premislav]

No to niech sobie trochę dziwnie wygląda, co z tego? To nie jest jakieś Miss Trollonia, tylko (prosta) matematyka.
Chociaż może większa klarowność byłaby zachowana, gdyby uznać, że \(\displaystyle{ p_1=2, \ p_2=3, \ p_3=5}\) i \(\displaystyle{ \alpha_1=1, \ \alpha_2=0, \ \alpha_3=1}\).

[Dasio11]

Wówczas liczba
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{p_i^{\alpha_i}}}\) powstaje jako jeden ze składników przy wymnożeniu
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}\right)}\)
(po rozwinięciu ich w szeregi geometryczne),
tak jak się mnoży zbieżne szeregi, patrz iloczyn Cauchy'ego.

Chyba masz na myśli nie iloczyn Cauchy'ego, tylko coś w rodzaju

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot \sum_{m=0}^{\infty} b_m = \sum_{n, m = 0}^{\infty} a_n \cdot b_m}\).

W iloczynie Cauchy'ego w specyficzny sposób łączy się iloczyny składników wyjściowych szeregów w sumy, a u Ciebie nie trzeba nic łączyć.

[a4karo]

MOże to ułatwi

\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{10}+\dots=\\
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots\right)\cdot \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots\right)\cdot \left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\dots\right)\cdot(...)}\)

bo
\(\displaystyle{ {\red 1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{10}+\dots=\\
\left({\red 1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots\right)\cdot \left({\red 1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots\right)\cdot \left({\red 1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\dots\right)\cdot(...)}\)

a
\(\displaystyle{ 1+{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+{\red\frac{1}{10}}+\dots=}\)\(\displaystyle{ \left(1+{\red\frac{1}{2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots\right)\cdot\\}\)
\(\displaystyle{ \left({\red 1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots\right)\cdot \left(1+{\red\frac{1}{5}}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\dots\right)\cdot(...)}\)

[Premislav]

A rzeczywiście, iloczyn Cauchy'ego definiuje się inaczej, to było z tymi splotami,
iloczyn Cauchy'ego szeregów
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\) (najlepiej, żeby były bezwzględnie zbieżne) to jest
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} c_n}\) gdzie \(\displaystyle{ c_n= \sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}}\)
czy jakoś tak, pomyliłem się. Dzięki za czujność. Tutaj po prostu wymnażamy i tyle.

-- 10 gru 2018, o 16:50 --

Wszystko przez to „głupie" twierdzenie Mertensa! To przez nie mi się pomyliło.