W moim rozwiązaniu jest błąd. Przepraszam. Można je całkowicie zignorować.
Ukryta treść:
Ustalmy liczbę całkowitą i nieujemną \(\displaystyle{ k}\). Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f_k:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_{>0}}\) zadaną wzorem \(\displaystyle{ f_k(x) = k^x}\). W tej funkcji wspaniałe jest to, że jest ona ciągłym homomorfizmem grup, gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest grupą liczb rzeczywistych względem dodawania oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{>0}}\) jest grupą liczb rzeczywistych dodatnich względem mnożenia. W tej gadaninie o homomorfizmie chodzi o to, że
dla każdych \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y\in \mathbb{R}}\). Zauważmy, że zbiór
\(\displaystyle{ M = \bigcup_{n=1}^{+\infty}\{n,\frac{1}{n}\}}\)
jest domkniętą podgrupą grupy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{>0}}\) ze względu na mnożenie. Z faktu, że przeciwobraz domkniętej podgrupy względem ciągłego homomorfizmu jest domkniętą podgrupą, uzyskujemy, że
jest domkniętą podgrupą addytywną liczb rzeczywistych. Zatem zbiór
\(\displaystyle{ A = \bigcap_{k=1}^{+\infty}f_k^{-1}(M)}\)
jest (jako przecięcie domkniętych podgrup) domkniętą podgrupą addytywną liczb rzeczywistych. Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) wszystkich \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\) takich, że każda z liczb
\(\displaystyle{ 1^a, 2^a, 3^a,...}\)
jest całkowita dodatnia lub jest odwrotnością liczby całkowitej dodatniej, tworzy domkniętą podgrupę addytywną zbioru liczb rzeczywistych. Niech teraz \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) będzie niecałkowitą liczbą wymierną napisaną w postaci ułamka nieskracalnego. Wówczas
nie jest dodatnią liczbą całkowitą, ani odwrotnością dodatniej liczby całkowitej. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}\not \in A}\). Ponadto \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq A}\), co jest oczywiste. Zatem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\cap A = \mathbb{Z}}\). Ostatecznie mamy więc, że
(1) \(\displaystyle{ A}\) jest domkniętą addytywną podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
(2) \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\cap A = \mathbb{Z}}\)
Z (1) i (2) wynika, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Istotnie na mocy (1) dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte i na mocy (2) zawiera ono podzbiór gęsty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Stąd \(\displaystyle{ A}\) jest domkniętą podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), która nie jest gęsta. Jak się okazuję (i dowodzi się tego np. na wykładach z równań różniczkowych zwyczajnych przy okazji badań portretów fazowych)
_ ... e_or_Dense
każda taka podgrupa grupy \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest postaci \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\cdot \epsilon}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\). Zatem istnieje \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) taki, że \(\displaystyle{ A = \mathbb{Z}\cdot \epsilon}\). Z faktu, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq A}\) wynika, że (pewna całkowita wielokrotność \(\displaystyle{ \epsilon}\) równa jest \(\displaystyle{ 1}\) więc) \(\displaystyle{ \epsilon \in \mathbb{Q}}\). Znowu z warunku (2) dostajemy, że \(\displaystyle{ \epsilon \in \mathbb{Z}}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ A = \mathbb{Z}}\).
Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) wszystkich \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\) takich, że każda z liczb
\(\displaystyle{ 1^a, 2^a, 3^a,...}\)
jest całkowita dodatnia lub jest odwrotnością liczby całkowitej dodatniej, jest równy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\). Oczywiście teza zadania jest teraz łatwym wnioskiem.
