Iloczyn i suma 3 liczb pierwszych

[min4max]

Witam
Mam zadanie: Wyznacz wszystkie 3 liczby pierwsze, których iloczyn jest 3 razy większy od ich sumy
Doszedłem do rozwiązania
\(\displaystyle{ x = y = z = 3}\)
Czy są jeszcze jakieś inne rozwiązania?

[a4karo]

Jeżeli doszedłes do rozwiązania, to z twojego rozumowania powinno wynikać, czy mogą być inne rozwiązania.


Są inne

[Premislav]

Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a,b,c}\), tj. \(\displaystyle{ abc=3(a+b+c)}\). Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez \(\displaystyle{ 3}\), skoro zaś to są liczby pierwsze, to jedną z nich jest \(\displaystyle{ 3}\). Bez straty ogólności niech będzie to \(\displaystyle{ c}\), tj.
\(\displaystyle{ 3ab=3(a+b+3)\\ab=a+b+3\\ 1=\frac 1 b+\frac 1 a+\frac 3 {ab}}\)
i teraz obserwacja jest taka, że jeśli któraś z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 5}\) (z uwagi na to, że obie mają być liczbami pierwszymi), to druga musi być równa \(\displaystyle{ 2}\), gdyż \(\displaystyle{ \frac 1 5+\frac {8}{5 a}\le 1}\) dla \(\displaystyle{ a\ge 2}\) z równością tylko, gdy \(\displaystyle{ a=2}\), natomiast jeśli któraś z nich jest większa niż \(\displaystyle{ 5}\), to rozwiązania nie istnieją. Pozostaje rozpisać sobie parę małych przypadków z dwójkami/trójkami. Z tym już sobie poradzisz.

[a4karo]

Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a,b,c}\), tj. \(\displaystyle{ abc=3(a+b+c)}\). Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez \(\displaystyle{ 3}\), skoro zaś to są liczby pierwsze, to jedną z nich jest \(\displaystyle{ 3}\). Bez straty ogólności niech będzie to \(\displaystyle{ c}\), tj.
\(\displaystyle{ 3ab=3(a+b+3)\\ab=a+b+3}\)

Dotąd ok, a potem
\(\displaystyle{ (a-1)(b-1)=4}\) czyli...

Bardzo byłem ciekaw jak autor "doszedł" do rozwiązania, ale się nie udało.