(wybór jest bardzo subjektywny)
Zapraszam do rozwiązywania i przedstawiania własnych /autorskich rozwiązań
Ilość zadań = \(\displaystyle{ 3^3}\)
(*) oprócz: 4, 9, 19, 20, 24.
1. Rozwiąż
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b = c+d \\ c+d= ab \\ a \leq b \\ c \leq d \end{cases}}\)
2. Rozwiązać równanie diofantastyczne \(\displaystyle{ m+n = \sqrt{m}+ \sqrt{n}+ \sqrt{mn}}\)
3. Dane są liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q >2}\). Udowodnić, że istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ x}\) taka, iż \(\displaystyle{ (x+1)^p - x^p}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\); wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q \equiv 1 \ (mod \ p)}\).
4. Wyznaczyć rekurencję dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{(5n-3)3^{n-1}}{2^n}}\)
5. Niech \(\displaystyle{ N=x^3y^5z^6}\) i \(\displaystyle{ M=x^5y^6z^3}\); (\(\displaystyle{ x, y, z}\) są to liczby naturalne). Która z implikacji jest fałszywa:
(i) Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest siódmą potęgą liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ M}\) też nią jest
(ii) Jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest siódmą potęgą liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ N}\) też nią jest
?
6. Diofantos; Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}+2}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 6 \}}\)
7. Wykaż lub obal: Jeśli \(\displaystyle{ x \geq 1}\) jest to istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ NWD(\lfloor x \rfloor , \lfloor nx \rfloor)=1}\)
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x+y^2+ (NWD(x,y))^2 = xy NWD(x,y)}\)
9. Diofantos: rozwiąż \(\displaystyle{ x^2+y^2-5xy+5=0}\)
10. Wyznaczyć ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ \frac{34!}{10^7}}\)
11. Wyznaczyć wszystkie liczy całkowite nieujemne \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+3} + \sqrt{n + \sqrt{n+3} }}\) jest całkowita
12. Udowodnić że liczba \(\displaystyle{ {2^n- k \choose k-1}}\) jest nieparzysta o ile \(\displaystyle{ 2<k< 2^{n-1}}\)
13. Udowodnić, że nie istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ x, y}\) dla których \(\displaystyle{ x- \frac{1}{x} + y- \frac{1}{y} = 4}\)
14. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+ b^2+ c^2= d+ 13 \\ a+2 b+ 3c = \frac{d}{2}+ 13 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych
15. Wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 3x^2 - 12xy+ y^4}\) jeśli \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi
16. Wykazać, ze jeśłi \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną, to istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), która ma \(\displaystyle{ n}\) cyfr (w zapisie dziesiętnym)
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ a^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są nieparzyste.
18. Układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 - 3b =15 \\ b^2 - a = 13 \end{cases}}\)
rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych
19. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k>1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 1+n^2+ n^4+...+n^{2k}}\) jest liczbą pierwszą ?
20. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie iż \(\displaystyle{ \frac{a^2+a+1}{b^2+b+1} = n^2+n+1}\)
21. Rozwiazać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 + b^3=c^3+ 1 \\ b^2- a^2= a+b \\ 2a^3 - 6a=c^3-4a^2 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych
22. Ile jest nieparzystych współczynników wielomianu (po rozwinięciu i posprzątaniu)
\(\displaystyle{ (x^2 - x+1)^n}\) ?
23. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) mające tę własność: jesli \(\displaystyle{ d}\) jest dowolnym dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ d+1}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n+1}\)
24. Rozwiązać całkowitoliczbowy układ :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3 - 4x^2 -16x+60=y \\ y^3 - 4y^2 - 16y+60=z \\ z^3 - 4z^2 -16z+60=x \end{cases}}\)
25. Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ (a, b)}\) że \(\displaystyle{ 2a-1}\) i \(\displaystyle{ 2b+1}\) są względnie pierwsze oraz \(\displaystyle{ 4ab+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+ b}\)
26. Liczby \(\displaystyle{ a, b , c , \frac{ab}{a+b} , \frac{bc}{b+c} , \frac{ca}{c+a}}\) są całkowite. Czy jest możliwe aby \(\displaystyle{ NWD(a, b, c)=1}\)
?
27. Które liczby naturalne nie mogą być przedstawione w formie \(\displaystyle{ \frac{m}{k} + \frac{m+1}{k+1}}\) ???