[MIX] Mix różnych zadań

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Mix różnych zadań

Post autor: mol_ksiazkowy »

Najciekawsze bądź jedne z ciekawszych zadań ze zbioru Topics in Numer Theory A.H. Parvardi (*)
(wybór jest bardzo subjektywny)

Zapraszam do rozwiązywania i przedstawiania własnych /autorskich rozwiązań

Ilość zadań = \(\displaystyle{ 3^3}\)

(*) oprócz: 4, 9, 19, 20, 24.

1. Rozwiąż
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b = c+d \\ c+d= ab \\ a \leq b \\ c \leq d \end{cases}}\)
2. Rozwiązać równanie diofantastyczne \(\displaystyle{ m+n = \sqrt{m}+ \sqrt{n}+ \sqrt{mn}}\)
3. Dane są liczby pierwsze \(\displaystyle{ p, q >2}\). Udowodnić, że istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ x}\) taka, iż \(\displaystyle{ (x+1)^p - x^p}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\); wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q \equiv 1 \ (mod \ p)}\).
4. Wyznaczyć rekurencję dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{(5n-3)3^{n-1}}{2^n}}\)
5. Niech \(\displaystyle{ N=x^3y^5z^6}\) i \(\displaystyle{ M=x^5y^6z^3}\); (\(\displaystyle{ x, y, z}\) są to liczby naturalne). Która z implikacji jest fałszywa:
(i) Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest siódmą potęgą liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ M}\) też nią jest
(ii) Jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest siódmą potęgą liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ N}\) też nią jest
?

6. Diofantos; Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}+2}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 6 \}}\)
7. Wykaż lub obal: Jeśli \(\displaystyle{ x \geq 1}\) jest to istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ NWD(\lfloor x \rfloor , \lfloor nx \rfloor)=1}\)
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x+y^2+ (NWD(x,y))^2 = xy NWD(x,y)}\)
9. Diofantos: rozwiąż \(\displaystyle{ x^2+y^2-5xy+5=0}\)
10. Wyznaczyć ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ \frac{34!}{10^7}}\)
11. Wyznaczyć wszystkie liczy całkowite nieujemne \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+3} + \sqrt{n + \sqrt{n+3} }}\) jest całkowita
12. Udowodnić że liczba \(\displaystyle{ {2^n- k \choose k-1}}\) jest nieparzysta o ile \(\displaystyle{ 2<k< 2^{n-1}}\)
13. Udowodnić, że nie istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ x, y}\) dla których \(\displaystyle{ x- \frac{1}{x} + y- \frac{1}{y} = 4}\)
14. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+ b^2+ c^2= d+ 13 \\ a+2 b+ 3c = \frac{d}{2}+ 13 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych
15. Wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 3x^2 - 12xy+ y^4}\) jeśli \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi
16. Wykazać, ze jeśłi \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną, to istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), która ma \(\displaystyle{ n}\) cyfr (w zapisie dziesiętnym)

17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ a^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są nieparzyste.

18. Układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 - 3b =15 \\ b^2 - a = 13 \end{cases}}\)
rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych
19. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k>1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 1+n^2+ n^4+...+n^{2k}}\) jest liczbą pierwszą ?
20. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie iż \(\displaystyle{ \frac{a^2+a+1}{b^2+b+1} = n^2+n+1}\)

21. Rozwiazać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 + b^3=c^3+ 1 \\ b^2- a^2= a+b \\ 2a^3 - 6a=c^3-4a^2 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych

22. Ile jest nieparzystych współczynników wielomianu (po rozwinięciu i posprzątaniu)
\(\displaystyle{ (x^2 - x+1)^n}\) ?
23. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) mające tę własność: jesli \(\displaystyle{ d}\) jest dowolnym dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ d+1}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n+1}\)
24. Rozwiązać całkowitoliczbowy układ :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3 - 4x^2 -16x+60=y \\ y^3 - 4y^2 - 16y+60=z \\ z^3 - 4z^2 -16z+60=x \end{cases}}\)
25. Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ (a, b)}\) że \(\displaystyle{ 2a-1}\) i \(\displaystyle{ 2b+1}\) są względnie pierwsze oraz \(\displaystyle{ 4ab+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+ b}\)
26. Liczby \(\displaystyle{ a, b , c , \frac{ab}{a+b} , \frac{bc}{b+c} , \frac{ca}{c+a}}\) są całkowite. Czy jest możliwe aby \(\displaystyle{ NWD(a, b, c)=1}\)
?
27. Które liczby naturalne nie mogą być przedstawione w formie \(\displaystyle{ \frac{m}{k} + \frac{m+1}{k+1}}\) ???
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

10.:    
16.:    
18.:    
19.:    
20.:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: a4karo »

11.::    
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: PokEmil »

2.:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

4.:    
15.:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: arek1357 »

Zad 22.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

14.:    
21.:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: arek1357 »

zad. 24
Ukryta treść:    


Zad. 27
Ukryta treść:    
zad. 26:

\(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,2,-1)}\)

czyli chyba jest możliwe...


zad.25
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: kerajs »

6:    
9:    
PS
Przypuszczam że w zadaniu 1) brakuje ograniczenia do liczb naturalnych, co da skończoną ilość rozwiązań.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

W zadaniu piątym coś mi się nie zgadza…
5.:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: arek1357 »

Uwaga do zadania 12.

według mnie to zawsze wychodzi parzysta a nie nieparzysta np dla:

\(\displaystyle{ n=3,k=3}\)

\(\displaystyle{ {2^3-3 \choose 3-1}= {5 \choose 2} =10}\)

Zresztą nie tylko dla innych również , więc można by się kusić nad wykazaniem , że ten dwumian to raczej liczba parzysta stosując wzór na ilość np dwójek w silni...

A co do siódmego tam chyba zawsze można dobrać takie\(\displaystyle{ n}\), pod warunkiem, że \(\displaystyle{ x}\) nie jest całkowite...


zad. 3,8
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

17. błędna treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: kerajs »

7:    
22:    
23:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: Premislav »

Co do 13. sprowadziłem to dość mozolnie (choć w głowie to krótkie) do nieistnienia rozwiązań równania
\(\displaystyle{ 4mn=m^2-n^2+p^2-q^2}\)
w całkowitych dodatnich takich, że \(\displaystyle{ (p,q)=1=(m,n)}\)
oraz \(\displaystyle{ pq=mn}\) i dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ m, p}\) jest parzysta oraz dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ n,q}\) jest parzysta. Ktoś umie:
1) pociągnąć to dalej
2) rozwiązać to zadanie zupełnie inaczej


Trochę mnie to wkurzyło, bo raz szedłem bezpośrednio, a za drugim razem nieco okrężnie i myślałem, że podejście z pierwotnymi trójkami pitagorejskimi poprowadzi mnie do czegoś lepszego, a dostałem koło. Tak że ja się na ten moment poddaję, pieprzyć matematykę i mój słaby mózg.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX] Mix różnych zadań

Post autor: PoweredDragon »

A jedynka tak jest źle ?
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ