Udowodnij, że dla dowolnych liczb

[Bratower]

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_1, x_2, ... x_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left[ \sum_{i=1}^{n}x_i \right]\geq \sum_{i=1}^{n}\left[ x_i \right]}\)
Proszę o jakaś wskazówkę

[Jan Kraszewski]

Pokaż, że \(\displaystyle{ [a+b]\ge[a]+}\) i indukcja.

JK

[Bratower]

\(\displaystyle{ [a+b]\ge[a]+\\a=\left[ a\right]+k_1; 0\le k_1<1\\b=\left[ b\right]+k_2;0\le k_2<1\\\left[ \left[ a\right]+\left[ b\right]+k_1+k_2 \right]\ge \left[ a\right]+\left[ b\right]\\\left[ a+b\right] =\begin{cases} \left[ a\right]+\left[ b\right], &\textup{gdy }0\le k_1+k_2<1 \\ \left[ a\right]+\left[ b\right]+1, &\textup{gdy } 1\le k_1+k_2<2 \end{cases}}\)

Założenie indukcyjne:
Krok 1
\(\displaystyle{ \left[ \sum_{i=1}^{n}x_i \right]\geq \sum_{i=1}^{n}\left[ x_i \right]}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \left[ x_1\right]\ge\left[ x_1\right]}\) zawsze równość

Dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ \left[ x_1+x_2\right]\ge\left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]\\x_1=[x_1]+k_1;0\le k_1<1\\x_2=[x_2]+k_2; 0\le k_2<1\\\left[ \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+k_1+k_2 \right]\ge\left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]\\\left[ x_1+x_2\right] =\begin{cases} \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right], &\textup{gdy }0\le k_1+k_2<1 \\ \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+1, &\textup{gdy } 1\le k_1+k_2<2 \end{cases}}\)

Krok 2
Dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \left[ x_1+x_2+x_3+...+x_n+x_{n+1}\right]\ge \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+\left[ x_3\right]+...+\left[ x_n\right]+\left[ x_{n+1}\right] \\x_1=[x_1]+k_1;0\le k_1<1\\x_2=[x_2]+k_2;0\le k_2<1\\x_3=[x_3]+k_3;0\le k_3<1\\...\\x_n=[x_n]+k_n;0\le k_n<1\\x_{n+1}=[x_{n+1}]+k_{n+1};0\le k_{n+1}<1\\\left[ \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+\left[ x_3\right]+...+\left[ x_n\right]+\left[ x_{n+1}\right]+k_1+k_2+...k_n+k_{n+1}\right]\ge \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+\left[ x_3\right]+...+\left[ x_n\right]+\left[ x_{n+1}\right]}\)

Mogę to zapisać w inny sposób:
\(\displaystyle{ \left[ \sum_{i=1}^{n+1}\left[ x_i\right] +\sum_{i=1}^{n+1}k_i \right]\geq \sum_{i=1}^{n+1}\left[ x_i \right].}\)

Równość zachodzi gdy

\(\displaystyle{ \left[ x_1+x_2+...+x_{n+1}\right]= \begin{cases} \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+...+\left[ x_{n+1}\right] ,&\textup{gdy }0\le k_1+k_2+...+k_{n+1}<1 \\ \left[ x_1\right]+\left[ x_2\right]+...+\left[ x_{n+1}\right]+1 , &\textup{gdy } 1\le k_1+k_2+...+k_{n+1}<2 \end{cases}}\)

Czyli mogę to zapisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left[ \sum_{i=1}^{n+1} x_i \right]= \begin{cases} \sum_{i=1}^{n+1}\left[ x_i\right],&\textup{gdy } 0\le \sum_{i=1}^{n+1}k_i<1 \\ \sum_{i=1}^{n+1}\left[ x_i\right]+1,&\textup{gdy } 1\le \sum_{i=1}^{n+1}k_i<2\end{cases}}\)

Podsumowując udowodniłem prawdziwość dla \(\displaystyle{ n=1,2}\), następnie dla \(\displaystyle{ n+1}\) z tego wynika, że prawdziwość jest dla każdej \(\displaystyle{ n\in\NN}\)
Mógłby ktoś sprawdzić czy ma to w ogóle sens co napisałem, pierwszy raz miałem styczność z indukcja matematyczna

[Jan Kraszewski]

Nie wczytując się głębiej wydaje się, zrozumiałeś pomysł, natomiast sformułowanie dowodu indukcyjnego nie jest niestety formalnie poprawne.

JK