Trzy liczby

[mol_ksiazkowy]

Liczby \(\displaystyle{ a, b , c}\) są naturalne oraz \(\displaystyle{ c=a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ c}\) jest kwadratem liczby całkowitej

[Premislav]

Oczywiście łatwo widać, że \(\displaystyle{ \frac{b^2-a}{ab}}\) musi być całkowite, skąd nietrudno wywnioskować też, że \(\displaystyle{ a|b^2}\). Zapiszmy równość z treści w postaci
\(\displaystyle{ abc=a^2b+b^2-a \ (*)\\ b(ac-a^2)=b^2-a}\)
Podnieśmy to teraz stronami do kwadratu, a będziemy mieć \(\displaystyle{ b}\) jedynie w parzystej potędze:
\(\displaystyle{ a^2b^2(c-a)^2=(b^2-a)^2}\)
Wstawmy teraz \(\displaystyle{ b^2=ka, \ k\in \ZZ}\). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ka^3(c-a)^2=a^2(k-1)^2}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ a\neq 0}\), więc stąd
\(\displaystyle{ ka(c-a)^2=(k-1)^2}\)
czyli po pierwsze \(\displaystyle{ c-a|k-1}\), a po drugie \(\displaystyle{ ka}\) jest kwadratem liczby całkowitej (łatwo to udowodnić). Zapiszmy \(\displaystyle{ k-1=r(c-a)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ r\in \ZZ}\) a otrzymamy
\(\displaystyle{ a(1+r(c-a))=r^2}\) lub \(\displaystyle{ c=a}\).
Jeśli \(\displaystyle{ c=a}\), to łatwo wywnioskować z \(\displaystyle{ (*)}\), że \(\displaystyle{ a=b^2}\), czyli \(\displaystyle{ c=b^2}\), c.n.d.
zaś w przeciwnym razie (\(\displaystyle{ c\neq a}\)) mamy
dla pewnego \(\displaystyle{ r\in \ZZ}\):
\(\displaystyle{ a(1+r(c-a))=r^2}\)
Zauważmy jednak, że czynnik \(\displaystyle{ 1+r(c-a)}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ r}\), gdyż \(\displaystyle{ (x,x+1)=1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) całkowitego dodatniego. Stąd czynnik ten musi być równy \(\displaystyle{ 1}\) (gdyby dzieliła go w dodatniej potędze pewna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), to nie dzieliłaby ona \(\displaystyle{ r}\), a więc i nie dzieliłaby \(\displaystyle{ r^2}\)), a więc \(\displaystyle{ r=0}\) (sprzeczność) lub \(\displaystyle{ c=a}\) (sprzeczność, gdyż rozważamy przypadek \(\displaystyle{ c\neq a}\)).
Zatem jedyna możliwość to \(\displaystyle{ c=a=b^2}\), co kończy dowód.

[Zahion]

Oczywiście łatwo widać, że \(\displaystyle{ \frac{b^2-a}{ab}}\) musi być całkowite, skąd nietrudno wywnioskować też, że \(\displaystyle{ a|b^2}\)

Nie jest lepiej wywnioskować, że \(\displaystyle{ b|a \Rightarrow a = kb \Rightarrow \frac{b^2-a}{ab} = \frac{b - k}{bk} \le \frac{1}{k}}\) i równość nie zachodzi. Stąd \(\displaystyle{ b = k}\)

[Premislav]

Czy lepiej, to nie wiem, na pewno krócej i na pewno ja na to nie wpadłem.

[arek1357]

\(\displaystyle{ a=b^2}\)

ma ktoś inne propozycje?