Zadania z algebry

[mimisinho99]

1. Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ x, y}\) spełniających związki \(\displaystyle{ x + y = 100}\) oraz \(\displaystyle{ (x, y) = 5}\).
2. Liczbę \(\displaystyle{ 1000}\) rozłożyć na takie dwa składniki dodatnie, aby pierwszy był wielokrotnością \(\displaystyle{ 10}\), a
drugi w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 13}\) dawał resztę \(\displaystyle{ 3}\).

[Premislav]

1. Zapiszmy \(\displaystyle{ x=5a, \ y=5b}\), przy czym żadna spośród liczb \(\displaystyle{ a,b}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\) (obie nie mogą się dzielić, bo \(\displaystyle{ x, \ y}\) miałyby większe \(\displaystyle{ \NWD}\) niż żądane, a jakby dokładnie jedna się dzieliła, to suma \(\displaystyle{ x+y}\) nie byłaby podzielna przez \(\displaystyle{ 5^2}\), a jest). Wówczas \(\displaystyle{ 5a+5b=100}\), czyli \(\displaystyle{ a+b=20}\).
Analogicznie obie liczby \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być nieparzyste, bo suma jest parzysta, więc \(\displaystyle{ a, \ b}\) są tej samej parzystości, a gdyby obie były parzyste, to \(\displaystyle{ (x,y)\ge 10}\).
Liczby nieparzyste i niepodzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) są postaci \(\displaystyle{ 10k+1, \ 10k+3, \ 10k+7}\) lub \(\displaystyle{ 10k+9}\). Dalej chyba sobie poradzisz.

2. Skoro suma jest równa \(\displaystyle{ 1000}\) i jeden składnik jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 10}\), to drugi też. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 120=117+3=130-13+3\equiv 3\pmod{13}}\), więc działa rozkład
\(\displaystyle{ 1000=880+120}\).