Wyznacz dzielnik liczby

[Bratower]

Wyznacz największa liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ 10^n}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 1005!}\)
Proszę o jakaś wskazówkę

[Jan Kraszewski]

Każda dziesiątka składa się z dwójki i piątki. Zadanie sprowadza się do policzenia, ile w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ 1005!}\) na czynniki pierwsze jest piątek (bo dwójek jest więcej).

JK

PS
Zauważ, że zadanie jest równoważne zadaniu polegającemu na wyznaczeniu, ile zer ma na końcu liczba \(\displaystyle{ 1005!}\).

[Bratower]

Czyli ilość liczby \(\displaystyle{ 10}\) w liczbie \(\displaystyle{ 1005!}\) jest równa ilości \(\displaystyle{ 5}\) w liczbie \(\displaystyle{ 1005}\) ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) jest więcej niż \(\displaystyle{ 5}\), a \(\displaystyle{ 2\cdot5 =10}\)\(\displaystyle{ 10!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot{\red 5 }\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot{\red 2\cdot5 }}\)
Czyli ilość \(\displaystyle{ 5}\) w liczbie \(\displaystyle{ 10!}\) jest równa liczbie \(\displaystyle{ 5}\) mieszczących się w liczbie \(\displaystyle{ 10}\), więc \(\displaystyle{ \frac{10}{5}=2}\). Wobec tego liczba \(\displaystyle{ 10!}\) ma \(\displaystyle{ 2}\) zera na końcu.
\(\displaystyle{ 15!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot{\red 5 }\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot{\red 2\cdot5 }\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot{\red 3\cdot 5 }}\)
Ilość \(\displaystyle{ 5}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\), więc \(\displaystyle{ \frac{15}{5}=3}\), liczba \(\displaystyle{ 15!}\) ma \(\displaystyle{ 3}\) zera.
Ilość \(\displaystyle{ 5}\) w liczbie \(\displaystyle{ 100!}\) jest równa \(\displaystyle{ \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{25} \right] =20+4=24}\)
Wiec ilość \(\displaystyle{ 5}\) w liczbie \(\displaystyle{ 1005!}\) wynosi \(\displaystyle{ \left[ \frac{1005}{5} \right] + \left[ \frac{1005}{25} \right] + \left[ \frac{1005}{125} \right] + \left[ \frac{1005}{625} \right] =201+40+8+1=\boxed{250}}\).
Podsumowując liczba \(\displaystyle{ 1005!}\) ma \(\displaystyle{ 250}\) zer na końcu. Największa naturalna \(\displaystyle{ n}\) dla której \(\displaystyle{ 10^n|1005!}\) wynosi: \(\displaystyle{ n=250}\)

[Premislav]

Bardzo dobrze.