Podzbiór i różnica
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Podzbiór i różnica
Udowodnić, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n+2}\) różnych liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,3n \}}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x, y}\), że \(\displaystyle{ n < x-y < 2n}\)
-
Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Podzbiór i różnica
Możemy sobie ten dany zbiór rozbić na \(\displaystyle{ 3}\) rozłączne zbiory, mam na myśli że
\(\displaystyle{ \{ 1,...,3n \}=\{ 1,...,n \} \cup \{ n+1,...,2n \} \cup \{ 2n+1,...,3n \}}\), widać że w każdym z nich jest po \(\displaystyle{ n}\) elementów więc z zasady szufladkowej jeśli wybierzemy \(\displaystyle{ n+2}\) elementów to:
Istnieje taki element \(\displaystyle{ a}\), że wśród wybranych elementów jest też \(\displaystyle{ a+n}\) lub \(\displaystyle{ a+2n}\)
Istnieje taki element \(\displaystyle{ b}\), że wśród wybranych elementów jest też \(\displaystyle{ b+n}\) lub \(\displaystyle{ b+2n}\)
Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ a>b}\)
I teraz łatwo zauważyć, że do przedziału \(\displaystyle{ (n,2n)}\) wpadnie różnica \(\displaystyle{ X=(a+n)-b}\) lub dla drugiego przypadku \(\displaystyle{ X=(a+2n)-(b+n)}\), a w razie gdy nie ma wśród elementów \(\displaystyle{ (b+n)}\) to musi tam być \(\displaystyle{ (b+2n)}\) i wtedy w szukanym przedziale znajdzie się \(\displaystyle{ X=(b+2n)-a}\)-- 26 paź 2018, o 21:32 --Przesadziłem, znalazłem kontrprzykład na swój własny dowód ;/
Właściwie to może istnieć takie \(\displaystyle{ a}\) że \(\displaystyle{ a+n}\) i \(\displaystyle{ a+2n}\) są wśród naszych \(\displaystyle{ n+2}\) elementów a \(\displaystyle{ b}\) o podanych własnościach nie istnieć wcale, ale udowodnić, że wówczas też taka różnica która wpada do tego przedziału istnieje nie jest ciężko.
\(\displaystyle{ \{ 1,...,3n \}=\{ 1,...,n \} \cup \{ n+1,...,2n \} \cup \{ 2n+1,...,3n \}}\), widać że w każdym z nich jest po \(\displaystyle{ n}\) elementów więc z zasady szufladkowej jeśli wybierzemy \(\displaystyle{ n+2}\) elementów to:
Istnieje taki element \(\displaystyle{ a}\), że wśród wybranych elementów jest też \(\displaystyle{ a+n}\) lub \(\displaystyle{ a+2n}\)
Istnieje taki element \(\displaystyle{ b}\), że wśród wybranych elementów jest też \(\displaystyle{ b+n}\) lub \(\displaystyle{ b+2n}\)
Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ a>b}\)
I teraz łatwo zauważyć, że do przedziału \(\displaystyle{ (n,2n)}\) wpadnie różnica \(\displaystyle{ X=(a+n)-b}\) lub dla drugiego przypadku \(\displaystyle{ X=(a+2n)-(b+n)}\), a w razie gdy nie ma wśród elementów \(\displaystyle{ (b+n)}\) to musi tam być \(\displaystyle{ (b+2n)}\) i wtedy w szukanym przedziale znajdzie się \(\displaystyle{ X=(b+2n)-a}\)-- 26 paź 2018, o 21:32 --Przesadziłem, znalazłem kontrprzykład na swój własny dowód ;/
Właściwie to może istnieć takie \(\displaystyle{ a}\) że \(\displaystyle{ a+n}\) i \(\displaystyle{ a+2n}\) są wśród naszych \(\displaystyle{ n+2}\) elementów a \(\displaystyle{ b}\) o podanych własnościach nie istnieć wcale, ale udowodnić, że wówczas też taka różnica która wpada do tego przedziału istnieje nie jest ciężko.