Rozstrzygnąć czy istnieje taka dodatnia całkowita liczba \(\displaystyle{ k}\), że w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ 2^k}\) każda z cyfr \(\displaystyle{ 0,1,...,9}\) występuje taką samą liczbę razy.
No to tu pewnie jest jakiś genialny sposób na wykazanie tego, ale ja widzę tylko takie rozwiązanie:
Jeśli istniałaby taka liczba to jej suma cyfr wyniosłaby: \(\displaystyle{ 0 \cdot k+1 \cdot k+...+9k=45k=3 \cdot 15k}\), a zatem byłaby podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), bo jej suma cyfr jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) a liczba \(\displaystyle{ 2^k}\), nie ma w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 3}\), zatem jest niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Stąd sprzeczność, taka liczba nie może istnieć.
Żeby nie było, że nic nie zrobiłem to wykażę, że jeśli suma cyfr danej liczby jest podzielna przez trzy to ta liczba jest podzielna przez trzy.
Niech \(\displaystyle{ z=x_1+10x_2+...+10^{n-1}x_n}\) będzie dowolną \(\displaystyle{ n}\)-cyfrową liczbą. Załóżmy zatem, że jej suma cyfr jest podzielna przez trzy czyli
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=3t,t \in \NN}\).
Po przekształceniu
\(\displaystyle{ x_1=3t-x_2-x_3-...-x_n}\) i po podstawieniu tego do naszej liczby otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z=3t+10x_2-x_2+100x_3-x_3+...+10^{n-1}x_n-x_n=}\)
\(\displaystyle{ =3t+9 \sum_{k=0}^{0}10^kx_2+9 \sum_{k=0}^{1}10^kx_3+...+
9 \sum_{k=0}^{n-2}10^kx_n=3t+9 \sum_{l=0}^{n-2} \sum_{k=0}^{l}10^kx_{l+2}=3s}\), gdzie \(\displaystyle{ s=t+3\sum_{l=0}^{n-2} \sum_{k=0}^{l}10^kx_{l+2}}\) jest liczbą całkowitą bo działanie dodawania i mnożenia jest wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych.
Czy tak jest dobrze? Może ktoś to potwierdzić lub zaprzeczyć? Jeśli jest też jakiś inny sposób na zrobienie tego zadania chętnie zobaczę.
