Element odwrotny 22 modulo 26

[kacperus]

próbuję wyznaczyć element odwrotny liczby \(\displaystyle{ 22 \mod 26}\) ale wydaje mi się że nie można takiego wyznaczyć. próbowałem rozszerzonym algorytmem euklidesa:

\(\displaystyle{ 26=1 \cdot 22+4 \\
22=5 \cdot 4+2 \\
4=2 \cdot 2+0}\)

reszta wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\) a wydaje mi się ,że aby był element odwrotny to reszta musi być\(\displaystyle{ 1}\).

[PoweredDragon]

A jak chcesz, żeby \(\displaystyle{ 2k \equiv 1 \pmod{2l}}\)? xD

Reszta z dzielenia parzystej liczby przez parzystą liczbę będzie...

[Janusz Tracz]

Żeby element odwrotny istniał potrzeba i wystarcza by zachodziło \(\displaystyle{ \NWD\left( 22,26\right)=1}\) nie jest to jednak prawda dlatego \(\displaystyle{ 22}\) odwrotnego nie ma w \(\displaystyle{ \ZZ_{26}}\). Ogólnie element odwrotny (tj. taki że \(\displaystyle{ aa^{-1}\equiv 1 \bmod n}\)) do \(\displaystyle{ a}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_n}\) istnienie wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \NWD(a,n)=1}\)

[kacperus]

A jak chcesz, żeby \(\displaystyle{ 2k \equiv 1 \pmod{2l}}\)? xD

Reszta z dzielenia parzystej liczby przez parzystą liczbę będzie...

wolałem sie upewnić , matematyka bywa zaskakująca

a gdybym chciał wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-4 & 6\\
14 & 4\\
\end{bmatrix} \mod 26}\)

to jak się do tego zabrać? muszę pierwszy wiersz pomnożyć przez element odwrotny do \(\displaystyle{ -4}\)? czy najpierw \(\displaystyle{ -4}\) mam potraktować \(\displaystyle{ \mod 26}\) ?

[Janusz Tracz]

Zerknij tu. Zacznij od wyznacznika i policz jego wartość \(\displaystyle{ \bmod 26}\) Potem trzeba wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych i ją transponować. Bazuje na tym linku bo ogólnie nie wiem jak się definiuje macierz modulo i co dokładnie to oznacza.

[kacperus]

wyznacznik macierzy\(\displaystyle{ = 22}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-4 & 6 &|1 & 0\\
14 & 4&|0 & 1\\
\end{bmatrix} \mod 26}\)

teraz muszę lewą macierz doprowadzić do postaci macierzy po prawej. czyli z \(\displaystyle{ -4}\) zrobić \(\displaystyle{ 1}\) więc muszę pomnożyć \(\displaystyle{ w_{1}}\) przez \(\displaystyle{ -4^{-1} \mod 26}\) ?? nie rozumiem juz nic... przeciez element odwrotny do tego nie istnieje?