Podzielność, kwadraty

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takimi liczbami naturalnymi że \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a+b}\) to \(\displaystyle{ a^{2n} + b^{2n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=a(a+b)+b^2=a^2+b(a+b)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a+b|a^2+ab+b^2}\) to \(\displaystyle{ a+b|a^2 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ a+b|ab \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ a+b|b^2}\)
\(\displaystyle{ a^{2n}+b^{2n}=(a^2)^n+(b^2)^n=(p(a+b))^n+(q(a+b))^n=(a+b)^n(p^n+q^n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) to liczby które pomnożone przez\(\displaystyle{ a+b}\) dają odpowiednio \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\)


PS
Troszkę kłopotliwsze:
\(\displaystyle{ a^6+b^6=c^2 \ \ ; \ \ a,b,c \in \NN_+}\)