Równanie trzech liczb całkowitych

[Ogorek00]

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających równanie:
\(\displaystyle{ (a^2+1)(b^2+1)=c^2+1}\)

[kerajs]

Dla \(\displaystyle{ b=1}\) równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ c^2-2a^2=1}\)
a to jest równanie Pella które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ c}\) to część wymierna, a liczba \(\displaystyle{ a}\) to współczynnik przy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ (3+2 \sqrt{2} )^n}\)

Możliwe że istnieją rozwiązania dla innych (nie będących znaną już trójką dla a=1) liczb b, lecz powyższe rozwiązanie już wskazuje nieskończenie wiele trójek.

[PokEmil]

Podpowiedź 1:    

Uprość to równanie i spróbuj znaleźć kilka par spełniających to równanie, znajdź pewną zależność.

Podpowiedź 2:    

\(\displaystyle{ a=b+1}\).

Rozwiązanie:    

Upraszczając, mamy \(\displaystyle{ a^2b^2 + a^2 + b^2 = c^2}\), więc pytamy się, dla jakich liczb \(\displaystyle{ a, b}\) liczba \(\displaystyle{ a^2b^2 + a^2 + b^2}\) jest kwadratem liczby całkowitej. Ręcznie sprawdzając, pary \(\displaystyle{ (a,b) = (2, 1), (3, 2), (4, 3)}\) spełniają nasze wcześniejsze oczekiwania. Spróbujmy zatem założyć, że \(\displaystyle{ a=b+1}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ (b+1)^2 \cdot b^2 + (b+1)^2 + b^2 = b^4 + 2b^3 + 3b^2 + 2b + 1 = \\ = b^2(b^2 + b + 1) + b(b^2 + b + 1) + (b^2 + b + 1) = (b^2 + b + 1)^2.}\)
Zatem liczba ta faktycznie jest kwadratem liczby naturalnej. Wyznaczmy więc \(\displaystyle{ c}\). Mamy: \(\displaystyle{ a^2b^2 + a^2 + b^2 = (b^2+b+1)^2 = c^2}\), więc \(\displaystyle{ |c| = |b^2 + b + 1|}\), a jako że oba wyrażenia są dodatnie, to możemy wartość bezwzględną opuścić, czyli \(\displaystyle{ c=b^2+b+1}\). Zatem istnieje nieskończenie wiele trójek liczb \(\displaystyle{ (a, b, c) = (n, n+1, n^2+n+1)}\) (dla \(\displaystyle{ n \in \NN_{+}}\)) spełniających to równanie, co należało dowieść.