Zmiana kolejności cyfr w pewnej liczbie naturalnej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Dziadziumil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 wrz 2018, o 17:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zmiana kolejności cyfr w pewnej liczbie naturalnej

Post autor: Dziadziumil »

Proszę o pomoc w zadaniu podyktowanym dziś przez nauczyciela , jak dla mnie brakuje tu jakiegoś elementu określającego wstępnie tą liczbę np: ilu cyfrowa ona jest , ale może po prostu nie zauważam jakiejś własności czy czegoś takiego. Z góry dziękuje.

Zadanie:
Pewnej liczbie naturalnej zmieniono kolejność cyfr i otrzymano liczbę 3 razy mniejszą od danej. Wykaż że 27 dzieli tę liczbę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zmiana kolejności cyfr w pewnej liczbie naturalnej

Post autor: Premislav »

Niczego nie brakuje.
Suma cyfr liczby daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co ta liczba (spoiler: ciach).
Zatem po przestawieniu cyfr reszta z dzielenia liczby przez \(\displaystyle{ 9}\) nie zmieniła się, tj. jeśli oznaczymy naszą liczbę przez \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ \frac 1 3 x}\) daje tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co \(\displaystyle{ x}\). Teraz jeśli nie mamy sprytnego pomysłu, to rozpisanie wszystkich przypadków poprowadzi do wniosku, że ta wspólna reszta wynosi zero.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2018, o 17:40 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Zmiana kolejności cyfr w pewnej liczbie naturalnej

Post autor: Brombal »

To jest zadanie logiczne a nie liczbowe.
mamy liczby \(\displaystyle{ a}\)i \(\displaystyle{ b}\)
1. suma cyfr \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest równa.
2. liczba \(\displaystyle{ a= 3 \cdot b}\)
3. liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) mają sumę cyfr podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) i liczby o sumie cyfr \(\displaystyle{ 3}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)
4. liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\) mają sumę cyfr podzielną przez \(\displaystyle{ 9}\) i liczby o sumie cyfr \(\displaystyle{ 9}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\)

Z 2. i 3. - \(\displaystyle{ 3|a}\)
stąd z 1. i 3. \(\displaystyle{ 3|b}\)
stąd z 2. \(\displaystyle{ 9|a}\)
stąd z 1. i 4. \(\displaystyle{ 9|b}\)
stąd z 2. \(\displaystyle{ 27|a}\)
ODPOWIEDZ