Liczby naturalne \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}}\)
Ich największy wspólny dzielnik jest równy \(\displaystyle{ 1}\).
Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Z góry dziękuję za pomoc
Równanie liczb względnie pierwszych
-
Ogorek00
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Równanie liczb względnie pierwszych
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2018, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równanie liczb względnie pierwszych
Dla \(\displaystyle{ z=1}\) łatwo otrzymujemy \(\displaystyle{ x=y=2}\), czyli \(\displaystyle{ x+y=4=2^2}\).
Dalej załóżmy, że \(\displaystyle{ z>1}\).
Zapiszmy równość \(\displaystyle{ \frac 1 x+\frac 1 y=\frac 1 z}\) w postaci
\(\displaystyle{ x+y=\frac{xy}{z}}\).
Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), która jest dzielnikiem \(\displaystyle{ z}\). Gdyby było \(\displaystyle{ p|\NWD(x,y)}\), to \(\displaystyle{ p|\NWD(x,y,z),}\) a to jest sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ \NWD(x,y,z)=1}\). Stąd płynie natychmiastowy wniosek, że
\(\displaystyle{ \NWD(z, \NWD(x,y))=1}\). Ponadto liczba \(\displaystyle{ x+y}\) jest naturalna jako suma liczb naturalnych, więc \(\displaystyle{ z|xy}\).
Zatem \(\displaystyle{ z}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ rq}\), gdzie \(\displaystyle{ \NWD(r,q)=1}\) (w szczególności \(\displaystyle{ \NWD(q, \NWD(x,y))=1, \ \NWD(r, \NWD(x,y))=1}\)) oraz \(\displaystyle{ r|x, \ q|y}\).
Napiszmy więc
\(\displaystyle{ x+y= \frac{x}{r\NWD(x,y)} \cdot \frac{y}{q\NWD(x,y)}\cdot\left( \NWD(x,y)\right)^2}\)
Teraz ćwiczenie dla Ciebie: uzasadnij, że tak pierwszy, jak i drugi czynnik muszą być jedynkami
(zauważ, że jeśli jakaś liczba pierwsza dzieli tak \(\displaystyle{ x}\), jak i \(\displaystyle{ x+y}\), to dzieli też… i podobnie dla drugiej liczby).
Dalej załóżmy, że \(\displaystyle{ z>1}\).
Zapiszmy równość \(\displaystyle{ \frac 1 x+\frac 1 y=\frac 1 z}\) w postaci
\(\displaystyle{ x+y=\frac{xy}{z}}\).
Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), która jest dzielnikiem \(\displaystyle{ z}\). Gdyby było \(\displaystyle{ p|\NWD(x,y)}\), to \(\displaystyle{ p|\NWD(x,y,z),}\) a to jest sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ \NWD(x,y,z)=1}\). Stąd płynie natychmiastowy wniosek, że
\(\displaystyle{ \NWD(z, \NWD(x,y))=1}\). Ponadto liczba \(\displaystyle{ x+y}\) jest naturalna jako suma liczb naturalnych, więc \(\displaystyle{ z|xy}\).
Zatem \(\displaystyle{ z}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ rq}\), gdzie \(\displaystyle{ \NWD(r,q)=1}\) (w szczególności \(\displaystyle{ \NWD(q, \NWD(x,y))=1, \ \NWD(r, \NWD(x,y))=1}\)) oraz \(\displaystyle{ r|x, \ q|y}\).
Napiszmy więc
\(\displaystyle{ x+y= \frac{x}{r\NWD(x,y)} \cdot \frac{y}{q\NWD(x,y)}\cdot\left( \NWD(x,y)\right)^2}\)
Teraz ćwiczenie dla Ciebie: uzasadnij, że tak pierwszy, jak i drugi czynnik muszą być jedynkami
(zauważ, że jeśli jakaś liczba pierwsza dzieli tak \(\displaystyle{ x}\), jak i \(\displaystyle{ x+y}\), to dzieli też… i podobnie dla drugiej liczby).