Równanie z nieparzystą potęgą w ułamku

[Ogorek00]

Udowodnij, że jeśli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}}\)
oraz n jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ a^{n} } + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}}\)
Za pomoc z góry dziękuję!

[Premislav]

Oczywiście \(\displaystyle{ a,b,c\neq 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+abc=abc \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0}\)
i dalej już bardzo łatwo (któryś czynnik musi być zerem, więc np. \(\displaystyle{ b=-c}\) itd.).