Indukcyjnie wykazać, że...

[Ist94]

Indukcyjnie wykazać, że \(\displaystyle{ \forall n \ge 160}\) istnieją \(\displaystyle{ x,y \in N}\) takie, że \(\displaystyle{ n=11x+17y}\)

[Janusz Tracz]

Zauważmy że dla \(\displaystyle{ n=160}\) teza zachodzi bo \(\displaystyle{ 11 \cdot 13+17 \cdot 1=160}\) załóżmy więc że istnieją zawsze takie liczb \(\displaystyle{ x_0,y_0}\) że dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 160}\) prawdą jest \(\displaystyle{ 11x_0+17y_0=n}\). Czy uda się znaleźć takie liczby że na podstawie założenia spełnione będzie \(\displaystyle{ 11x+17y=n+1}\). By pokazać że tak jest podstawmy \(\displaystyle{ x=x_0+14}\) oraz \(\displaystyle{ y=y_0-9}\) wtedy faktycznie \(\displaystyle{ 11x+17y=11(x_0+14)+17(y_0-9)=11x_o+17y_0+11 \cdot 14-17 \cdot 9=n+1}\). Co kończy dowód.

[Premislav]

Janusz Tracz
, musisz jeszcze wiedzieć, że \(\displaystyle{ y_0\ge 9}\), jeśli tak to robisz, a nie bardzo widzę, skąd ma się to brać.

-- 21 sie 2018, o 12:57 --

Ale daje się to naprawić. Z rozszerzonego algorytmu Euklidesa mamy
\(\displaystyle{ 1=11\cdot 14-9\cdot 17=11\cdot (-3)+17\cdot 2}\)
i wystarczy zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ n\ge 160}\), to w rozkładzie \(\displaystyle{ n}\) musi być
\(\displaystyle{ x_0\ge 3\vee y_0\ge 9}\), bo inaczej (z uwagi na całkowitość \(\displaystyle{ x_0, y_0}\))
\(\displaystyle{ n=11x_0+17y_0\le 11\cdot 2+17\cdot 8}\)

[Janusz Tracz]

Faktycznie, dziękuję. Myślałem że \(\displaystyle{ x,y\in\ZZ}\)... pomyślę jeszcze bo wydaje mi się że można to rozumowanie naprawić. Ale jak masz coś lepszego to śmiało pisz.-- 21 sie 2018, o 13:59 --Dziękuję za naprawienie.