Wykazać,że liczby są niepierwsze niebliźniacze.

[zr3456]

Jak wykazać,że liczby \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) \pm 1}\) nie są liczbami pierwszymi bliźniaczymi?

[PoweredDragon]

Jedna z tych liczb jest podzielna przez 7, co łatwo z kongruencji powinno pójść


-----------------------------------------------------------
A wykazać mamy to co w tytule czy to co w poście?

[zr3456]

Jedna z tych liczb jest podzielna przez 7, co łatwo z kongruencji powinno pójść

Która jest podzielna przez 7, ta z" plusem" czy z " minusem"?

[Premislav]

Ta większa.
Ponieważ \(\displaystyle{ 1000\equiv -1\pmod{7}}\), więc
dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\) mamy
\(\displaystyle{ 10^{3k}\equiv (-1)^k\pmod{7}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ 10^{35890554}\equiv 1\pmod{7}}\)
(wykładnik jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\), bo suma jego cyfr, równa \(\displaystyle{ 39}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), a ponadto wykładnik jest liczbą parzystą, stąd nasze \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste).
Wobec tego
\(\displaystyle{ 321863850+987607300 \cdot 10^{35890554}\equiv 321863850+987607300\pmod{7}}\)
Teraz przedstawmy tę pierwszą liczbę w postaci
\(\displaystyle{ 321\cdot 1000^2+863\cdot 1000+850}\),
a drugą liczbę zapiszmy w postaci
\(\displaystyle{ 987\cdot 1000^2+607\cdot 1000+300}\)
i mamy
\(\displaystyle{ 1000^2\equiv 1\pmod{7}, \ 1000\equiv -1\pmod{7}}\),
więc
\(\displaystyle{ 321\cdot 1000^2+863\cdot 1000+850\equiv\left(321-863+850 \right)\pmod{7}}\)
oraz
\(\displaystyle{ 987\cdot 1000^2+607\cdot 1000+300\equiv (987-607+300)\pmod{7}}\),
stąd już nietrudno obliczyć, że
\(\displaystyle{ 321863850+987607300 \cdot 10^{35890554}\equiv 1 \pmod{7}}\),
no a oczywiście wówczas
\(\displaystyle{ 6\cdot \left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) +1\equiv 0\pmod{7}}\)

[zr3456]

Pozostała ta mniejsza z \(\displaystyle{ ''-1''?}\)

[Premislav]

Co to znaczy „pozostała ta mniejsza"? Skoro jedna z tych liczb jest złożona, to nie są to liczby pierwsze bliźniacze, bo jedna z nich nie jest nawet pierwsza. Chyba że źle rozumiem sens tematu i nie chodzi o to, czy liczby te tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych, tylko o to, czy którakolwiek zalicza się do liczb pierwszych bliźniaczych, ale chyba przyznasz, że przy tym sformułowaniu to nie jest naturalna interpretacja.
Aczkolwiek z drugą liczbą (tą mniejszą) jest o tyle prościej, że nie musimy sprawdzać jej złożoności: pokazaliśmy, że liczba o \(\displaystyle{ 2}\) większa jest złożona, bo dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) i dość oczywiste, że jest większa niż \(\displaystyle{ 7}\), natomiast liczba o \(\displaystyle{ 2}\) mniejsza, czyli \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -3}\), w sposób oczywisty dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako różnica liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) a także jest większa niż \(\displaystyle{ 3}\), więc również należy do liczb złożonych.

Jeżeli nie jesteś w stanie przeprowadzić takiego trywialnego rozumowania, to Twoja samoocena (sądząc po poprzednich postach) wydaje się nieco zawyżona, ale cóż, chyba lepiej w tę stronę, niż się nie doceniać, bo mniej to przeszkadza w życiu.

[zr3456]

Aczkolwiek z drugą liczbą (tą mniejszą) jest o tyle prościej, że nie musimy sprawdzać jej złożoności: pokazaliśmy, że liczba o \(\displaystyle{ 2}\) większa jest złożona, bo dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) i dość oczywiste, że jest większa niż \(\displaystyle{ 7}\), natomiast liczba o \(\displaystyle{ 2}\) mniejsza, czyli \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -3}\), w sposób oczywisty dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako różnica liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) a także jest większa niż \(\displaystyle{ 3}\), więc również należy do liczb złożonych.

...czyli liczba postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) jeżeli dzieli się przez 7 to liczba \(\displaystyle{ 6k-1}\) dzieli się przez 3.

[Premislav]

Nie. Proszę o uważniejsze czytanie.

[zr3456]

natomiast liczba o \(\displaystyle{ 2}\) mniejsza, czyli \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -3}\), w sposób oczywisty dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako różnica liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) a także jest większa niż \(\displaystyle{ 3}\), więc również należy do liczb złożonych.

Jeżeli liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) to liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -1}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) ?

[Premislav]

Nie wiem, dlaczego przypisujesz mi takie stwierdzenie.
Podsumujmy:
1) udowodniłem, że liczba
\(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) +1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), a więc, z uwagi na to, że jest w oczywisty sposób większa niż \(\displaystyle{ 7}\), jest liczbą złożoną.
2) uzasadniłem krótko oczywisty fakt, że liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).
3) zatem ani liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) +1}\) (która w ogóle nie jest liczbą pierwszą), ani liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -1}\)
(zarówno liczba o \(\displaystyle{ 2}\) mniejsza od niej, jak i liczba o \(\displaystyle{ 2}\) większa od niej jest złożona)
nie należy do liczb pierwszych bliźniaczych.

Niczego nie musimy już wiedzieć na temat tego, czy \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -1}\) jest złożona, czy też pierwsza, bo skoro tak liczba o \(\displaystyle{ 2}\) większa, jak i liczba o \(\displaystyle{ 2}\) mniejsza jest złożona, to
\(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -1}\) nie może być liczbą pierwszą bliźniaczą (gdyż obie liczby potencjalnie dopełniające taką parę nie są pierwsze).
A jeśli chciałeś po prostu spytać, jak udowodnić, że liczby
\(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) \pm 1}\)
nie są liczbami pierwszymi, to wyjaśnij mi proszę, po co używać słowa „bliźniacze", bo jak na zasadzie skojarzeń, to mnie się może wszystko kojarzyć z mangustą karłowatą, tylko nie wiem, po co o tym pisać.

[zr3456]

\(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) -1}\) nie może być liczbą pierwszą bliźniaczą (gdyż obie liczby potencjalnie dopełniające taką parę nie są pierwsze).

Przyjęto,że liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\) to l.bliźniacze;wobec tego po co rozważać liczby cyt 'dopełniające" postaci \(\displaystyle{ 6k \pm3}\) jako dowód niebliźniaczności liczby \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) - 1}\) skoro l.postaci \(\displaystyle{ 6k \pm3}\),zawsze złożone,nie mogą być bliźniacze.Nadal nie wykazano,że liczba \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) - 1}\) jest niepierwsza(a jest) co błyskotliwie wykazano dla drugiej liczby.
Premislav,b.cenię Twoją pracowitość i jako najbardziej pomocnego uczestnika forum(oprócz p.Kerajsa,p.Kruszewskiego i paru inn.) ale po co dywagujesz o jakichś samoocenach,jest to b.chybiony argument;nie należy oceniać innych wg.własnych doświadczeń,myśli i czynów.Z harcerskim pozdrowieniem-Czuwaj!

[PoweredDragon]

@UP ta interpunkcja boli

\(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) \equiv 6 \cdot (26+0) \pmod{31}}\)

Oczywiście
\(\displaystyle{ 6 \cdot (26) \equiv 1 \pmod{31}}\), a zatem \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) - 1 \equiv 0 \pmod{31}}\) i oczywiście \(\displaystyle{ 6\left(321863850+987607300 \cdot 10^{35890554} \right) - 1 \neq 31}\) więc pierwsza nie jest...

[zr3456]

...a jak wykazać,że liczby \(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{711111101} \right) \pm 1}\) nie są liczbami pierwszymi bliźniaczymi?

[Gosda]

...a jak wykazać,że liczby \(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{711111101} \right) \pm 1}\) nie są liczbami pierwszymi bliźniaczymi?

Ponieważ liczba \(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{n} \right) + 1}\) jest podzielna przez 41:

\(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{n} \right) + 1 \equiv 6 \cdot (34 + 0 \cdot 10^n) + 1 \equiv 40 + 1 \equiv 0}\) (modulo 41 oczywiście)

zaś \(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{n} \right) - 1}\) dzieli się przez 73:

\(\displaystyle{ 6\left(18257580+2068462300 \cdot 10^{n} \right) - 1 \equiv 6(61 + 0 \cdot 10^n) -1 \equiv 1 -1 \equiv 0}\).

Skąd bierzesz te zadania? Takie średnio rozwijające są, bym powiedział.

[zr3456]

Skąd bierzesz te zadania? Takie średnio rozwijające są, bym powiedział.

Zadania sam opracowałem, a że są średnio rozwijające to jest i tak dobrze.Mam pytanie,jak ustalałeś, że liczba jest np.podzielna przez 41 to zacząłeś od drugiego składnika liczby tj.tego z potęgami "10"; czy korzystałeś np. z programu Wolfram.Przyznam się,że nie bardzo orientuję się w kongruencjach, a leniwy jestem,żeby się uczyć;jeżeli dostanę odpowiedź to jestem w stanie dobrać(tak sądzę) takie wielkości liczb,że będą np. poza możliwościami obliczeniowymi Wolframa; sposób rozwiązania bardzo mi się podoba,gratuluję szybkośći rozwiązania; przez to chyba się trzeba pouczyć tych kongruencji- widzę to jak odwieczny problem pocisk-pancerz; pociskiem są kongruencje powiązane z faktoryzacją, pancerzem wielkość liczby;dobrze to ująłem ?