Podzielność wyrażenia przez 37

[xxDorianxx]

Wykaż,że jeśli \(\displaystyle{ 37|2x+15y}\) to również \(\displaystyle{ 37|3x+4y}\),gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \ZZ}\)
Zero pomysłów,żaden z moich sposobów nie przechodzi :/

[Premislav]

Działa coś takiego:
\(\displaystyle{ 15(3x+4y)=4(2x+15y)+37x}\)
i z założenia łatwo wynika, że prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ 37}\). Ponadto \(\displaystyle{ \NWD(15,37)=1}\) i korzystamy z tego faktu, że jeśli
\(\displaystyle{ \NWD(a, c)=1}\) i \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ bc}\), to \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\) (znane).

-- 10 sie 2018, o 22:48 --

Przyznam jednak, że to bardziej zadanie typu „łamigłówka" niż zadanie typu „jakieś kształcące matematyczne rozumowanie", no ale cóż…

[Janusz Tracz]

Można znaleźć \(\displaystyle{ 2^{-1}\bmod 37=19}\) (bo \(\displaystyle{ 2 \cdot 19\equiv 1 \bmod 37}\)) i pomnożyć pierwszą kongruencję co daje \(\displaystyle{ x+26y\equiv 0 \bmod 37}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ 3}\) by dostać tezę (oczywiście \(\displaystyle{ 3 \cdot 26\equiv 4 \bmod 37}\)).

[Elayne]

\(\displaystyle{ 37 \ | \ (2x + 15y) \Rightarrow 37 \ | \ 20(2x + 15y) \\
37 \ | \ (40x + 300y) \Rightarrow 37 \ | \ (3x + 4y)}\)
I w drugą stronę
\(\displaystyle{ 37 \ | \ (3x + 4y) \Rightarrow 37 \ | \ 13(3x + 4y) \\
37 \ | \ (39x + 52y) \Rightarrow 37 \ | \ (2x + 15y)}\)

[kerajs]

Jeszcze inny zapis:
\(\displaystyle{ 2x+15y=37n \ \bigg/ \cdot 17 \\
34x+255y=17 \cdot 37n\\
(37-3)x+(7 \cdot 37-4)y=17 \cdot 37n\\
3x+4y=37(x+7y-17n)}\)