Ułamki i potęgi

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) taką, że \(\displaystyle{ \frac{m}{2}}\) jest kwadratem, \(\displaystyle{ \frac{m}{3}}\)sześcianem, zaś \(\displaystyle{ \frac{m}{5}}\) piątą potęgą liczb całkowitych.

[karolex123]

Niech szukaną liczbą będzie \(\displaystyle{ m=2^p \cdot 3^q \cdot 5^r}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q,r \ge 1}\). Z jednoznaczności rozkładu oraz jego łatwych konsekwencji wynika, że skoro \(\displaystyle{ \frac{m}{2}}\) jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ q,r}\) muszą być parzyste. Analogicznie, \(\displaystyle{ p,r}\) muszą być podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ p,q}\) muszą być podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\). Najmniejsze liczby \(\displaystyle{ p, q , r}\) spełniające te warunki to \(\displaystyle{ p=5 \cdot 3=15}\), \(\displaystyle{ q=2 \cdot 5=10}\) i \(\displaystyle{ r=2 \cdot 3=6}\). Łatwo sprawdzamy, że liczba \(\displaystyle{ m=2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^{6}}\) spełnia oczekiwane założenia