Wyznaczanie reszty z dzielenia wielomianu przez 8

[xxDorianxx]

Niech \(\displaystyle{ n \in \ZZ}\) będzie liczbą nieparzystą.Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 3n^3+2n^2+n-1}\) przez 8.
Nie potrafiłem tego ani zwinąć ani pałować indukcyjnie na jakiś dziwacznych przypadkach.

[Lider_M]

Uzasadnij, że np. \(\displaystyle{ n^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego. Następnie można przekształcić wyrażenie w zadaniu do następującej postaci:

\(\displaystyle{ (3n+2)(n^2-1)+4n+1,}\)

zatem zostaje do sprawdzenia jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) daje \(\displaystyle{ 4n+1}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego.

[Janusz Tracz]

Albo skoro \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to jest postaci \(\displaystyle{ n=4k+1}\) lub \(\displaystyle{ n=4k+3}\). Co inaczej mówiąc oznacza że daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\). Są to wszystkie przypadki bo gdyby dawało resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) to nie było by nieparzyste niezgodnie z założeniem. Więc

\(\displaystyle{ \bullet \ n=4k+1 \ \rightarrow \ 3n^3+2n^2+n-1=192k^3+176k^2+56k+5\equiv 5\bmod 8}\)

\(\displaystyle{ \bullet \ n=4k+3 \ \rightarrow \ 3n^3+2n^2+n-1=192k^3+464k^2+376k+101\equiv 101\equiv 5\bmod 8}\)

Co jest prawdą \(\displaystyle{ \forall k\in\ZZ}\) czyli także \(\displaystyle{ \forall n\in 2\ZZ+1}\)

[xxDorianxx]

Dzięki