Jedyny sposób zapisu liczby wymiernej

[xxDorianxx]

Witam mam mały kłopot z jednym zadankiem: Udowodnij,że liczba wymierna ma tylko jedno,z dokładnością do znaku licznika i mianownika,przedstawienie w postaci ułamka nieskracalnego

Poniżej znajduję się moje podejście:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Q}}\) oraz jej podstać ułamka to \(\displaystyle{ a= \frac{p}{q}}\),gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}}\).Jeśli jest to ułamek nieskracalny to \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\).
Co dalej,nie wiem.

[bartek118]

Przypuśćmy, że istnieją dwa przedstawienia \(\displaystyle{ \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2}}\), co z tego wynika, w szczególności co można powiedzieć o \(\displaystyle{ NWD}\).

[xxDorianxx]

Wtedy \(\displaystyle{ NWD(p_1,q_1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_2,q_2)=1}\) jednak po kombinowaniu z tym nic nie doszedłem nigdzie.

-- 5 sie 2018, o 20:49 --

hmm chyba,że coś takiego mam:
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2}}\) to po przekształceniu daje \(\displaystyle{ 1= \frac{p_2q_1}{p_1q_2}}\).Zatem aby to równanie było prawdziwe to \(\displaystyle{ \frac{p_2q_1}{p_1q_2} \in \mathbb{Z}}\) Teraz trzeba wykazać,że liczba ta nie jest całkowita na mocy tych \(\displaystyle{ NWD}\)-- 5 sie 2018, o 20:57 --A może jeszcze przecież \(\displaystyle{ 1= \frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}}\)a przecież \(\displaystyle{ q_1}\) nie dzieli \(\displaystyle{ p_1}\) oraz \(\displaystyle{ q_2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ p_2}\) to liczba ta nie jest całkowita co prowadzi to sprzeczności i kończy dowód.Dobrze tutaj kminie czy total blef?

[bartek118]

To drugie podejście to blef. Skupmy się na tym, że \(\displaystyle{ p_2 q_1 = p_1 q_2}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli \(\displaystyle{ q_1 p_2}\). Skoro nie dzieli \(\displaystyle{ q_1}\), to \(\displaystyle{ p_2 = k \cdot p_1}\)...

[xxDorianxx]

Chyba mam.
Jeśli \(\displaystyle{ p_1|q_1p_2}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_1,q_1)=1}\) to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że \(\displaystyle{ p_2|p_1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ p_2|q_2p_1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_2,q_2)=1}\) to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że \(\displaystyle{ p_1|p_2}\).
No i jeśli \(\displaystyle{ p_1|p_2}\) i \(\displaystyle{ p_2|p_1}\) to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p_1=p_2}\).Tak samy wykazujemy,że \(\displaystyle{ q_1=q_2}\)i mamy koniec dowodu.Teraz jest okej?

[bartek118]

Wygląda okej.

[Jan Kraszewski]

No i jeśli \(\displaystyle{ p_1|p_2}\) i \(\displaystyle{ p_2|p_1}\) to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p_1=p_2}\).

I co z tego? Implikacja w tę stronę Cię nie interesuje. Chyba chciałeś napisać, że z tego wynika \(\displaystyle{ p_1=p_2}\), ale to jest nieprawda (zapomniałeś o znaku).

JK

[_Michal]

Chyba mam.
Jeśli \(\displaystyle{ p_1|q_1p_2}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_1,q_1)=1}\) to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że \(\displaystyle{ p_2|p_1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ p_2|q_2p_1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_2,q_2)=1}\) to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że \(\displaystyle{ p_1|p_2}\).
No i jeśli \(\displaystyle{ p_1|p_2}\) i \(\displaystyle{ p_2|p_1}\) to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p_1=p_2}\).Tak samy wykazujemy,że \(\displaystyle{ q_1=q_2}\)i mamy koniec dowodu.Teraz jest okej?

Chyba powinno być tak: Jeśli \(\displaystyle{ p_1|q_1p_2}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(p_1,q_1)=1}\) to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy, że \(\displaystyle{ p_1|p_2}\), a nie: \(\displaystyle{ p_2|p_1}\) i analogicznie w drugim stwierdzeniu.

[Brombal]

A może nieco inaczej...
\(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{p+a}{q+b}}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \cdot b=a}\)
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest liczbą wymierną, stąd

\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \cdot b}\) jest liczbą naturalną dla \(\displaystyle{ b=k \cdot q}\) dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.
stąd
\(\displaystyle{ a=k \cdot p}\)
Jedynym zapisem ułamka jest \(\displaystyle{ \frac{p+k \cdot p}{q+k \cdot q}}\) - skracalny przez \(\displaystyle{ k+1}\)

Coś namieszałem;)

[_Michal]

Jedynym zapisem ułamka jest \(\displaystyle{ \frac{p+k \cdot p}{q+k \cdot q}}\) - skracalny przez \(\displaystyle{ k+1}\)

Coś namieszałem;)

Jeżeli \(\displaystyle{ k+1=1}\) lub \(\displaystyle{ k+1=-1}\) to ułamek nie musi być skracalny.

\(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest liczbą wymierną, stąd

\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \cdot b}\) jest liczbą naturalną dla \(\displaystyle{ b=k \cdot q}\) dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.
stąd
\(\displaystyle{ a=k \cdot p}\)

Nie jestem pewien tego rozumowania (niech \(\displaystyle{ p=3}\), \(\displaystyle{ q=6}\), \(\displaystyle{ b=2}\) , \(\displaystyle{ a=1}\), wówczas \(\displaystyle{ a \neq k \cdot p}\)).

Ale można tak: \(\displaystyle{ a \cdot q=b \cdot p}\), zatem \(\displaystyle{ q|b \cdot p}\), skoro \(\displaystyle{ NWD (p, q)=1}\) to \(\displaystyle{ q|b}\) czyli \(\displaystyle{ b=k \cdot q}\) (\(\displaystyle{ k \in Z}\)).

Czyli \(\displaystyle{ a \cdot q= k \cdot q \cdot p}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ a= k \cdot p}\).

[Brombal]

...
Nie jestem pewien tego rozumowania (niech \(\displaystyle{ p=3}\), \(\displaystyle{ q=6}\), \(\displaystyle{ b=2}\) , \(\displaystyle{ a=1}\), wówczas \(\displaystyle{ a \neq k \cdot p}\)).

\(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) nie mogą mieć wspólnych podzielników \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 6}\) mają