Gęstość liczb pierwszych

[Janusz Tracz]

Mniej więcej tak wynika z dowodu Janusza Tracza.

Ja tego nie powiedziałem. Udowodniłem jedynie zaproponowaną przez Ciebie asymptotyczną równość. Dla jasności, stawiasz jakieś twierdzenie A i uważasz że jest równoważne z równością B. By udowodnić A nie wystarczy udowodnić jedynie B trzeba jeszcze udowodnić równoważność A z B (póki co masz tylko B). Nie wiem czy tylko ja nie rozumiem Twojej idei gęstości? Bo stwierdzenia

prawdopodobieństwo tego że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą a nie liczba z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,n\right\rangle}\)jest pierwszą.

Jeżeli mamy funkcję\(\displaystyle{ \pi (n)}\) to o ile należy zwiększyć liczbę \(\displaystyle{ n}\) by \(\displaystyle{ \pi (n+\delta)}\) wzrosło o \(\displaystyle{ 1}\) w stosunku do\(\displaystyle{ \pi (n)}\).
Inaczej
\(\displaystyle{ \pi (n)+1=\pi (n+\delta)}\)

Jeżeli mam nieco racji odnośnie gęstości "mojej" to jak podszedłbyś do tematu obliczenia prawdopodobieństwa, że dana liczba \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza jeżeli żadna liczba, gdzie\(\displaystyle{ k \le \sqrt{n}}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,k\right\rangle}\) nie dzieli tej liczby.

bez urazy wydają mi się zlepkiem słów. Z wyjątkiem ostatniego cytatu który jest prawdziwym twierdziłem \(\displaystyle{ \rightarrow}\)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Test_pierwszo%C5%9Bci

. Proponuję żebyś jeszcze raz przemyślał co dokładnie masz na myśli potem pomyślał nad tym jak to powiedzieć by inni też wiedzieli a na koniec zapisał to słowami (formalnie ale bez ściany znaczków).

PS. Jeśli tylko ja mam problem ze zrozumieniem to przepraszam i już się nie odzywam.

[Brombal]

@Janusz Tracz
Nie chciałem Cię wplątywać w potencjalne głupoty jakie tu wypisuję. Twoje potwierdzenie analityczne mojej koncepcji cyfrowej niezmiernie mnie ucieszyło.
Twoje niezrozumienie wynika zapewne albo z nieprawdziwości moich hipotez albo z mojej nieumiejętności wypowiedzi.
Nad tematem myślę już od dłuższego czasu i ta formalna definicja gęstości liczb pierwszych wydawała mi się poprawna formalnie ale jednocześnie nonsensowna ze względu na ignorowanie zmiany średnich odległości liczb pierwszych od siebie w rozpatrywanym przedziale.

Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n)}}\) miałoby być gęstością liczb pierwszych to spełniałoby również następujący warunek:

\(\displaystyle{ \int_{2}^{n} \frac{1}{\ln(x)} \mbox{d}x \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)

Co chyba prawdą nie jest?

@leg14
\(\displaystyle{ \pi (n) \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)
Jest jedynie pewną funkcją symulującą zachowanie liczb pierwszych. Liczby pierwsze są bardziej kapryśne i mogą się do siebie zbliżać i oddalać do woli.

[leg14]

Jest jedynie pewną funkcją symulującą zachowanie liczb pierwszych. Liczby pierwsze są bardziej kapryśne i mogą się do siebie zbliżać i oddalać do woli.

Czyli to co zrobiłeś jest bez sensu.

[Brombal]

...
Czyli to co zrobiłeś jest bez sensu.

Nie do końca . Jeżeli oglądasz liczby pierwsze z dużym przybliżeniem przez lupę to zachowują się swobodnie . Ale jak spojrzysz na nie z dużej odległości i będzie ich wystarczająco dużo ...

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \int_{2}^{n} \frac{1}{\ln(x)} \mbox{d}x \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)

Jest to prawdą. Zerknij tu

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integral_function

@leg14
\(\displaystyle{ \pi (n) \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)
Jest jedynie pewną funkcją symulującą zachowanie liczb pierwszych. Liczby pierwsze są bardziej kapryśne i mogą się do siebie zbliżać i oddalać do woli.

Wiem że to nie do mnie ale się wtrącę. Nie jestem pewien czy poprawnie rozumiesz czym jest funkcja \(\displaystyle{ \pi (n)}\). Określa ona liczbę liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ n}\). Ta funkcja nie ma oczywistego związku z odległościami pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi przez co może wzięły się te niedomówienia. Pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi może być dowolnie dużo liczb złożonych co udowadnia ciąg \(\displaystyle{ \left\{n!+2,n!+3,n!+4,...,n!+n\right\}}\) dla jakiegoś wybranego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) wszystkie liczby tego ciągu są kolejnymi złożonymi liczbami naturalnymi. Są twierdzenia mówiące o tym że jednak liczb pierwszych jest stosunkowo dużo np. Twierdzenie Czebyszewa mówiące o tym że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) taka że \(\displaystyle{ n<p<2n}\). Czyli patrząc z jednej strony liczb pierwszych jest "mało" bo występują dowolnie długie przerwy bez liczb pierwszych a z drugiej strony mamy że liczb pierwszych jest całkiem sporo bo w przedziale \(\displaystyle{ \left( n,2n\right)}\) zawsze się jakaś znajdzie. To pokazuje że bez formalnego stawiania hipotez nie można za dużo powiedzieć bo jak widać odpowiedzi są drastycznie różne ze względu na miejsce z którego patrzymy na problem.

[Brombal]

Zadziwiająca pojemność symbolu \(\displaystyle{ \approx}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n)} \approx \frac{n+\ln(n)}{n \cdot \ln(n)}}\)

Pozostaje pytanie, która koncepcja gęstości ma mniej pofalowany znaczek \(\displaystyle{ =}\).
Można również zapytać jak wygląda wzorek na dokładniejsze przybliżenie \(\displaystyle{ \pi (n)}\)
(Wzorek na \(\displaystyle{ \pi (n) =....}\) sobie wyprowadziłem ale jest niepraktyczny.

[Janusz Tracz]

A ja wciąż pozostaje przy swoim. Jeśli chcesz być zrozumianym to musisz mówić w języku zrozumiałym dla wszystkich. Stwierdzenie

Pozostaje pytanie, która koncepcja gęstości ma mniej pofalowany znaczek \(\displaystyle{ =}\).

wskazuje że nie rozumiesz znaczenia asymptotycznej równości. Nie ma czegoś takiego jak bardziej czy mniej pofalowany znaczek. Ten znaczek to relacja określona na ciągach (ogólniej funkcjach) taka że:

\(\displaystyle{ a_n \approx b_n \ \ \Leftrightarrow \ \ \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}=1}\)

relacja \(\displaystyle{ \approx}\) ma kilka ważnych własności między innymi jest przechodnia to znaczy że jeśli \(\displaystyle{ \left( a_n \approx b_n \ \wedge \ b_n \approx c_n\right) \ \Rightarrow \ a_n \approx c_n}\). Nie ma sensu więc mówienie o "pofalowanych znaczkach" bo tak naprawdę mówimy i formalnie zdefiniowanej relacji z tyłu głowy mając granicę ilorazu. To tak jak by mówić co jest bardziej równe \(\displaystyle{ 2=2}\) czy \(\displaystyle{ 3=3}\).

[leg14]

Brombal,
a w ogóle, czy Twierdzisz, że ta wartość \(\displaystyle{ \delta}\) jest (asymptotycznie) optymalna?