Gęstość liczb pierwszych

[Brombal]

Po wielu próbach rozwiązania prościutkiego równania poddałem się i skorzystałem z wolframa. Pytanie czy macie pomysł jak praktycznie (Czyli numerycznie) użyć takiego wzoru na "gęstość liczb pierwszych" - według mojego mniemania, w rejonie liczby \(\displaystyle{ n}\)?

\(\displaystyle{ \rho(n) = -\frac{\ln (n)}{ \left( n + \ln (n) \right) \cdot\left(W \left( -\frac{\ln(n) }{n + \ln (n) } \right) +\frac{\ln(n)}{\frac{\ln(n)}{n}+1}\right)}}\)

Wzór ma pewne słabości. Przypadkowo wykombinowałem pewien przybliżony wzór na gęstość liczb pierwszych. Bardzo ładnie się sprawdza do \(\displaystyle{ 10 ^{15}}\)

Oto hipoteza:

\(\displaystyle{ \rho \left( n \right) \approx \frac{n+\ln(n)}{n \cdot \ln(n)}}\)

[JakimPL]

Znasz

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_liczbach_pierwszych

?

Hipoteza powinna wyglądać raczej (zakładając, że \(\displaystyle{ W(x)}\) to funkcja \(\displaystyle{ W}\) Lamberta):

\(\displaystyle{ \rho(n)\approx\frac{1}{n}}\)

co chyba nie do końca odpowiada szukanemu rozkładowi.

[Brombal]

Masz rację, dodatkowo ten minusik na początku...
Wolfram zrobił mnie w bambuko .
Ale postawiona hipoteza coraz bardziej mnie zadziwia przyrostem dokładności wraz z \(\displaystyle{ n}\).

[Janusz Tracz]

JakimPL jak rozumiesz gęstość? Według mnie \(\displaystyle{ \rho(N)}\) oznacza stosunek ilości liczb pierwszych odniesionych do ilości liczb zbioru w jakim ów gęstość rozpatrujemy. Gęstość liczb pierwszych w \(\displaystyle{ \left\{ n\in\NN:n \le N\right\}}\) dla jakiegoś ustalonego \(\displaystyle{ N}\) to

\(\displaystyle{ \rho\left( N\right) = \frac{\pi(N)}{N}}\)

A dzięki twierdzeniu o liczbach pierwszych mamy dalej:

\(\displaystyle{ \rho\left( N\right) = \frac{\pi(N)}{N} \approx \frac{ \frac{N}{\ln N} }{N} \approx \frac{1}{\ln N}}\)

Natomiast gęstość liczb pierwszych w zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) to liczba i nie jest już zależna od zmiennych. Gęstość w \(\displaystyle{ \NN}\) dostaniemy wtedy gdy \(\displaystyle{ N \rightarrow \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty }\rho(N)=\lim_{N \to \infty } \frac{1}{\ln N}=0}\)-- 31 lip 2018, o 12:37 --Z punktu widzenia rachunku prawdopodobieństwa można powiedzieć że gęstość liczb pierwszych w zbiorze, to prawdopodobieństwo natrafienie na liczbę pierwszą w tym zbiorze. Tak jak przy losowanie ponumerowanych kul (o numerach \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3...N\right\}}\)) prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze pierwszym jest bliskie \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln N}}\) a dokładność oszacowania zwiększa się w raz z \(\displaystyle{ N}\)

[Brombal]

@Janusz Tracz
"Twoja" gęstość jest mało przydatna . "Moja" gęstość wynika z innego rozumowania i oznacza dokładnie prawdopodobieństwo tego że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą a nie liczba z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,n\right\rangle}\) jest pierwszą.
Rozumowanie jest następujące:
Jeżeli mamy funkcję \(\displaystyle{ \pi (n)}\) to o ile należy zwiększyć liczbę \(\displaystyle{ n}\) by \(\displaystyle{ \pi (n+\delta)}\) wzrosło o \(\displaystyle{ 1}\) w stosunku do \(\displaystyle{ \pi (n)}\).
Inaczej
\(\displaystyle{ \pi (n)+1=\pi (n+\delta)}\)

W tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{\delta}}\) jest właśnie gęstością liczb pierwszych w rejonie liczby \(\displaystyle{ n}\) lub inaczej prawdopodobieństwem, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza.

By to potwierdzić musiałbym wykazać następującą własność (numerycznie się ładnie sprawdza):
\(\displaystyle{ \int_{2}^{n} \frac{x+\ln(x)}{x \cdot \ln(x)} \mbox{d}x \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)
Czego nie potrafię ugryźć albo zdementować .-- 31 lip 2018, o 17:17 --@Janusz Tracz zauważ co wynika z poniższego...

...
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty }\rho(N)=\lim_{N \to \infty } \frac{1}{\ln N}=0}\)
...

"Wylosuj dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\) - liczba \(\displaystyle{ N}\) nie jest pierwsza"

[Janusz Tracz]

By to potwierdzić musiałbym wykazać następującą własność (numerycznie się ładnie sprawdza):
\(\displaystyle{ \int_{2}^{n} \frac{x+\ln(x)}{x \cdot \ln(x)} \mbox{d}x \approx \frac{n}{\ln(n)}}\)
Czego nie potrafię ugryźć albo zdementować .

Jak rozumiem chcesz się dowiedzieć czy jest to prawda na gruncie formalnym bez wspomagania się analizą numeryczną? W tym celu można zauważyć że:

\(\displaystyle{ (*) \ \ \int_{2}^{n} \frac{x+\ln(x)}{x \cdot \ln(x)} \mbox{d}x=\int_{2}^{n} \frac{1}{\ln(x)} \mbox{d}x+\int_{2}^{n} \frac{1}{x} \mbox{d}x=\text{li}(n)+\ln n+c}\)

Formalnie asymptotyczną zbieżność rozumie się jako granicę co oznacza:

\(\displaystyle{ \left( \int_{2}^{n} \frac{x+\ln(x)}{x \cdot \ln(x)} \mbox{d}x \approx \frac{n}{\ln(n)}\right) \ \Leftrightarrow \ \left( \lim_{ n\to \infty } \frac{\int_{2}^{n} \frac{x+\ln(x)}{x \cdot \ln(x)} \mbox{d}x}{ \frac{n}{\ln(n)}}=1\right)}\)

A to w świetle \(\displaystyle{ (*)}\) oznacza pytanie o prawdziwość równości:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\text{li}(n)+\ln n+c }{ \frac{n}{\ln(n)}}=1}\)

Granica przekształca się do:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\text{li}(n)}{ \frac{n}{\ln(n)}}+ \frac{\ln n}{ \frac{n}{\ln n}}+ \frac{c}{ \frac{n}{\ln(n)}}=1}\)

I jest to równość prawdziwa co czyni Twoje przypuszczenia prawdziwymi jako że:

\(\displaystyle{ \frac{\text{li}(n)}{ \frac{n}{\ln(n)}} \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{ \frac{n}{\ln n}}+ \frac{c}{ \frac{n}{\ln(n)}} \rightarrow 0}\)

-- 31 lip 2018, o 17:23 --

Nie wiem o co Ci tu chodzi?

@Janusz Tracz zauważ co wynika z poniższego...
Janusz Tracz napisał(a):
...
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty }\rho(N)=\lim_{N \to \infty } \frac{1}{\ln N}=0}\)
...


"Wylosuj dowolną liczbę naturalną N - liczba N nie jest pierwsza"

Z tego wynika tyle że szansa na wylosowanie liczby pierwszej ze zboru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3...,N\right\}}\) jest bardzo mała gdy \(\displaystyle{ N}\) jest duże. I prawdopodobieństwo to zmniejsza się dążąc do \(\displaystyle{ 0}\). Nigdzie nie losuję \(\displaystyle{ N}\) tylko je ustalam i to czy jest pierwsze czy złożone nie jest istotne. (Tak formalnie rozumie się gęstość nie wiem co Ty masz na myśli mówiąc o gęstości. Jedynie udowodniłem zaproponowaną asymptotyczną równość).

[Brombal]

@Janusz Tracz - jesteś Wielki.
Gmerałem w tej co Ty okolicy odnośnie potwierdzenia ale nie mam praktyki albo rozumu.

Odnośnie tego o co mi chodzi to:
" Wylosuj dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\)" oznacza : weź liczbę naturalną z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle1,+ \infty )}\) a w tym przedziale gęstość jest znikoma .

Jeżeli mam nieco racji odnośnie gęstości "mojej" to jak podszedłbyś do tematu obliczenia prawdopodobieństwa, że dana liczba \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza jeżeli żadna liczba, gdzie \(\displaystyle{ k \le \sqrt{n}}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,k\right\rangle}\) nie dzieli tej liczby.-- 31 lip 2018, o 18:14 --Odnośnie tej "mojej" gęstości. Tak nieco bardziej poetycko :
To moja gęstość mówi o tym, że jeżeli pływasz po oceanie liczb naturalnych i wylądowałeś na pewnej znanej Ci liczbie pierwszej, ile musisz prawdopodobnie przepłynąć by napotkać następną liczbę pierwszą.
Formalna gęstość mówi jedynie o tym, że następna liczba pierwsza pojawi się prawdopodobnie w odległości równej dystansowi jaki przepłynąłeś podzielonemu przez ilości napotkanych przez Ciebie liczb pierwszych. Co jest przybliżeniem przybliżenia. Przy brzegu przecież było jak z sinicami.

[leg14]

Czy Ty twierdzisz, że Twoja funkcja \(\displaystyle{ p(n)}\) wyznacza \(\displaystyle{ \frac{1}{\delta}}\) takie, że
\(\displaystyle{ \pi(n) +1 = \pi(n + \delta)}\)?

[a4karo]

No to problem liczb bliźniaczych mamy z głowy

[Brombal]

Czy Ty twierdzisz, że Twoja funkcja \(\displaystyle{ p(n)}\) wyznacza \(\displaystyle{ \frac{1}{\delta}}\) takie, że
\(\displaystyle{ \pi(n) +1 = \pi(n + \delta)}\)?

Mniej więcej tak wynika z dowodu Janusza Tracza.
Właściwie tak można by zdefiniować gęstość czegoś, jako funkcję której całka od "początku" do pewnej wartości da nam wartość w tym punkcie tego czego gęstość wyznaczamy .

a4akro - co masz na myśli?
Odnośnie liczb bliźniaczych - by je wygenerować do pewnej wartości nie trzeba znać wszystkich liczb pierwszych do tej wartości. Brzmi jak herezja ale bliźniaczość liczby dziedziczą .

[leg14]

to jaki jest konkretnie wzór na \(\displaystyle{ p(n)}\)

[Brombal]

\(\displaystyle{ \rho \left( n \right) \approx \frac{n+\ln(n)}{n \cdot \ln(n)}}\)

Jednocześnie oznacza to wartość prawdopodobieństwa, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza.

[leg14]

no ale wiesz , że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n+\ln(n)}{n \cdot \ln(n)} = 0}\), czyli twierdzisz, że dla dostatecznei dużych n masz \(\displaystyle{ \pi(n) + 1 = \pi(n+1)}\) ? Coś tu śmierdzi.

[Brombal]

no ale wiesz , że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n+\ln(n)}{n \cdot \ln(n)} = 0}\), czyli twierdzisz, że dla dostatecznei dużych n masz \(\displaystyle{ \pi(n) + 1 = \pi(n+1)}\) ? Coś tu śmierdzi.

Nic tu nie śmierdzi
Zauważ odwrotność gęstości czyli spodziewaną odległość do następnej liczby.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n \cdot \ln(n)}{n+\ln(n)} = \infty}\)

Nie będzie to poprawne ale Twój zapis powinien być taki :
dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) masz \(\displaystyle{ \pi(n) + 1 = \pi(n+ \infty )}\)

[leg14]

a no tak mea culpa. Ale wiesz, ze pracownik Subway'a udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych oddalonych o mniej niż pewna stała? Musisz mieć błąd w swoim rozumowaniu iestety.