Cechy podzielności książka Teoria Liczb

[profesorek96]

Witam,
Ostatnio wziąłem się za przerabianie książki Pana J.Rutkowskiego "Teoria liczb w zadaniach".
W jednym z przykładów prezentuje niezrozumiałe dla mnie rozwiązanie. Mamy wykazać że \(\displaystyle{ 15|13\cdot7^{n}+17\cdot(-8)^{n}}\)
Rozwiązanie proponowane to:
\(\displaystyle{ 13\cdot7^{n+1}+17\cdot(-8)^{n+1}=7\cdot13\cdot7^{n}-8\cdot17\cdot(-8)^{n}=7[13\cdot7^{n}+17\cdot(-8)^{n}]-15\cdot17\cdot(-8)^{n}}\)
Nie rozumiem, jak to zostało przekształcone, że wyszła taka równość na końcu.

[kerajs]

Tu pokazano kluczowy fragment dowodu wykorzystującego indukcję matematyczną, której najwyraźniej nie znasz. Poczytaj o niej i rozwiąż trochę łatwiejsze przykłady, a problematyczny fragment stanie się oczywistym.

Podzielności bez indukcji:

\(\displaystyle{ 13 \cdot 7^n+17 \cdot (-8)^n=(15 -2)\cdot 7^n+(15+2) \cdot (-8)^n=15( 7^n+ (-8)^n )-2(7^n- (-8)^n)=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases} 15( 7^n+ (-8)^n )-2(7^n-8^n)&\text{ , dla n parzystych }\\ 15( 7^n+ (-8)^n )-2(7^n+8^n) &\text{ , dla n nieparzystych }\end{cases}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases} 15( 7^n+ (-8)^n )-2(7+8)(7^{n-1}-7^{n-2}8^{1}+...+7^{1}8^{n-2}-8^{n-1})&\text{ , dla n parzystych }\\ 15( 7^n+ (-8)^n )-2(7+8)(7^{n-1}-7^{n-2}8^{1}+...-7^{1}8^{n-2}+8^{n-1}) &\text{ , dla n nieparzystych }\end{cases}}\)