Reszty z dzielenia

[xxDorianxx]

Reszty z dzielenia danej liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 3, 18, 48}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ a, b, c}\).
Wykazac, ze jesli \(\displaystyle{ a + b + c = 39}\), to \(\displaystyle{ a = 1}\).

[Premislav]

Oczywiście \(\displaystyle{ a\in\left\{ 0,1,2\right\}}\), zatem
\(\displaystyle{ b+c=37\vee b+c=38\vee b+c=39}\)
Równość \(\displaystyle{ 18k+b=48l+c}\) prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ c-b}\) (ponadto skoro \(\displaystyle{ b+c\ge 37}\), to łatwo widać, że \(\displaystyle{ c>b}\), gdyż \(\displaystyle{ b\le 18}\), a więc \(\displaystyle{ 2b\le 36<37}\)), zatem
\(\displaystyle{ c=b+6m, \ m \in\left\{ 1,2, \ldots 7\right\}}\)
Otrzymujemy więc takie możliwości:
\(\displaystyle{ 2b+6m=37, \ 2b+6m=38, \ 2b+6m=39}\)
Rzecz jasna pierwsza i ostatnia prowadzą do sprzeczności (liczba parzysta równa liczbie nieparzystej), stąd \(\displaystyle{ b+c=38}\), a to daje nam tezę.

[Zahion]

Z faktu, że \(\displaystyle{ 2 | k - b}\) oraz \(\displaystyle{ 2 | k - c}\) ( \(\displaystyle{ k}\) to nasza dana liczba ), wynika, że liczby \(\displaystyle{ b, c}\) dają tą samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\), więc \(\displaystyle{ a}\) musi być nieparzyste.

[Premislav]

No cóż, to już tradycja, że piszę przekombinowane rozwiązania.