Reszty z dzielenia danej liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 3, 18, 48}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ a, b, c}\).
Wykazac, ze jesli \(\displaystyle{ a + b + c = 39}\), to \(\displaystyle{ a = 1}\).
Reszty z dzielenia
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Reszty z dzielenia
Oczywiście \(\displaystyle{ a\in\left\{ 0,1,2\right\}}\), zatem
\(\displaystyle{ b+c=37\vee b+c=38\vee b+c=39}\)
Równość \(\displaystyle{ 18k+b=48l+c}\) prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ c-b}\) (ponadto skoro \(\displaystyle{ b+c\ge 37}\), to łatwo widać, że \(\displaystyle{ c>b}\), gdyż \(\displaystyle{ b\le 18}\), a więc \(\displaystyle{ 2b\le 36<37}\)), zatem
\(\displaystyle{ c=b+6m, \ m \in\left\{ 1,2, \ldots 7\right\}}\)
Otrzymujemy więc takie możliwości:
\(\displaystyle{ 2b+6m=37, \ 2b+6m=38, \ 2b+6m=39}\)
Rzecz jasna pierwsza i ostatnia prowadzą do sprzeczności (liczba parzysta równa liczbie nieparzystej), stąd \(\displaystyle{ b+c=38}\), a to daje nam tezę.
\(\displaystyle{ b+c=37\vee b+c=38\vee b+c=39}\)
Równość \(\displaystyle{ 18k+b=48l+c}\) prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ c-b}\) (ponadto skoro \(\displaystyle{ b+c\ge 37}\), to łatwo widać, że \(\displaystyle{ c>b}\), gdyż \(\displaystyle{ b\le 18}\), a więc \(\displaystyle{ 2b\le 36<37}\)), zatem
\(\displaystyle{ c=b+6m, \ m \in\left\{ 1,2, \ldots 7\right\}}\)
Otrzymujemy więc takie możliwości:
\(\displaystyle{ 2b+6m=37, \ 2b+6m=38, \ 2b+6m=39}\)
Rzecz jasna pierwsza i ostatnia prowadzą do sprzeczności (liczba parzysta równa liczbie nieparzystej), stąd \(\displaystyle{ b+c=38}\), a to daje nam tezę.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Re: Reszty z dzielenia
Z faktu, że \(\displaystyle{ 2 | k - b}\) oraz \(\displaystyle{ 2 | k - c}\) ( \(\displaystyle{ k}\) to nasza dana liczba ), wynika, że liczby \(\displaystyle{ b, c}\) dają tą samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\), więc \(\displaystyle{ a}\) musi być nieparzyste.