Wykaz, ze ostatnie dwie cyfry (cyfry jednosci i dziesiatek) liczb \(\displaystyle{ (9 ^{9} )^{9}}\) i \(\displaystyle{ ((9 ^{9} )^{9}) ^{9}}\) sa takie same.
Jak to wykazac?
Pozdrawiam.
ostatnie cyfry jednosci sa takie same
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: ostatnie cyfry jednosci sa takie same
Porównujemy \(\displaystyle{ 9^{81}}\) i \(\displaystyle{ 9^{729}}\)
\(\displaystyle{ \phi(100)=40}\) (\(\displaystyle{ \phi}\) to tocjent),
a zatem \(\displaystyle{ 9^{81}=9^{40 \cdot 2 +1} \equiv 9 \pmod{100}}\) i \(\displaystyle{ 9^{729}=(9^{81})^9 \equiv 9^9 \neq 9 \pmod{100}}\) chyba teza kłamie
\(\displaystyle{ \phi(100)=40}\) (\(\displaystyle{ \phi}\) to tocjent),
a zatem \(\displaystyle{ 9^{81}=9^{40 \cdot 2 +1} \equiv 9 \pmod{100}}\) i \(\displaystyle{ 9^{729}=(9^{81})^9 \equiv 9^9 \neq 9 \pmod{100}}\) chyba teza kłamie
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: ostatnie cyfry jednosci sa takie same
Prawdopodobnie te nawiasy mieszają, moim zdaniem powinno być
\(\displaystyle{ 9^{9^9}}\) oraz \(\displaystyle{ 9^{9^{9^9}}}\)…
Mamy \(\displaystyle{ 9^2\equiv 1\pmod{40}}\), toteż \(\displaystyle{ 9^{2k}\equiv 1\pmod{40}, \ k\in \NN}\), zatem \(\displaystyle{ 9^9\equiv 9\pmod{40}}\)
i stąd oraz z tw. Eulera \(\displaystyle{ 9^{9^9}\equiv 9^9\pmod{100}}\).
Poza tym \(\displaystyle{ 9^{9^9}\equiv 9^9 \pmod{40}}\), gdyż \(\displaystyle{ 2| 9^9-1}\), więc…
\(\displaystyle{ 9^{9^9}}\) oraz \(\displaystyle{ 9^{9^{9^9}}}\)…
Mamy \(\displaystyle{ 9^2\equiv 1\pmod{40}}\), toteż \(\displaystyle{ 9^{2k}\equiv 1\pmod{40}, \ k\in \NN}\), zatem \(\displaystyle{ 9^9\equiv 9\pmod{40}}\)
i stąd oraz z tw. Eulera \(\displaystyle{ 9^{9^9}\equiv 9^9\pmod{100}}\).
Poza tym \(\displaystyle{ 9^{9^9}\equiv 9^9 \pmod{40}}\), gdyż \(\displaystyle{ 2| 9^9-1}\), więc…