Własność liczb parami względnie pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Własność liczb parami względnie pierwszych

Post autor: Maslow »

Nie potrafię udowodnić następującej własności:
Jeśli \(\displaystyle{ x_{1},..., x_{r}}\) są niezerowymi liczbami całkowitymi parami względnie pierwszymi oraz liczba \(\displaystyle{ k}\) całkowita jest taka, że \(\displaystyle{ x_{i}|k}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1,..,r}\) to iloczyn wszystkich \(\displaystyle{ x_{i}}\) też dzieli \(\displaystyle{ k}\).

Wiem że to jest proste, intuicyjnie to czuję, ale nie wiem jak to formalnie pokazać.
Ostatnio zmieniony 21 cze 2018, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Re: Własność liczb parami względnie pierwszych

Post autor: Zahion »

Weźmy \(\displaystyle{ k = x_{1}y_{1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y_{1}}\) całkowitego. Z drugiej strony \(\displaystyle{ x_{2} | k = x_{1}y_{1}}\), więc \(\displaystyle{ x_{2} | y_{1}}\), skąd \(\displaystyle{ y_{1} = x_{2}y_{2}}\). Dalej \(\displaystyle{ x_{3} | k \Rightarrow x_{3} | y_{1} \Rightarrow x_{3} | y_{2} \Rightarrow y_{2} = x_{3}y_{3}}\) itd.
ODPOWIEDZ