Uzasadnij, że jeśli pewna liczba jest pierwsza to...

[mastee_d]

Treść:
Liczby \(\displaystyle{ a, n}\) są całkowite dodatnie, przy czym \(\displaystyle{ a>1}\). Uzasadnij, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ a^{n}+1}\) jest pierwsza to \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki.
Moje próby:
Nie wprost udało mi się dość do tego, że \(\displaystyle{ n}\) na pewno musi być parzyste. Założyłem, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, potem przedstawiłem to jako sumę \(\displaystyle{ n}\)-tych potęg i z użyciem definicji liczby pierwszej wyszło, że \(\displaystyle{ a=0}\) lub\(\displaystyle{ a^{n}=1}\), ale wtedy dochodzimy do sprzeczności. Nie mam jednak pojęcia, jak to ruszyć, aby uzasadnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki. Proszę o jakieś wskazówki

[Premislav]

Zauważ, że jeśli liczba \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik pierwszy nieparzysty \(\displaystyle{ p}\), tj. \(\displaystyle{ n=kp}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\), to
\(\displaystyle{ a^n+1=(a^k)^p+1^p=(a^k+1)((a^k)^{p-1}-(a^k)^{p-2}+\ldots-a^k+1)}\)
i z założeń łatwo wynika, że zarówno
\(\displaystyle{ a^k+1,}\) jak i ten drugi czynnik to liczby całkowite dodatnie większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
Może to drugie warto pokazać, ale serio to trywialne.

[mastee_d]

Cholera, faktycznie, to ma sens. Dziękuję poraz drugi dzisiaj