Równanie w liczbach naturalnych

[Krodinor]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3^{m}+16 = n^{2}}\) w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\)
Jakieś wskazówki jak sobie tu poradzić?

Edit: Może spróbuje tak:
\(\displaystyle{ 3^{m} = (n-4)(n+4)}\)
Czynniki z prawej strony muszą być potęgami \(\displaystyle{ 3}\), widzimy też, że ich różnica wynosi \(\displaystyle{ 8}\), zatem jedyna możliwość to \(\displaystyle{ n-4 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ n+4 = 9}\), a stąd otrzymujemy: \(\displaystyle{ n=5, m=2}\) Jest to jedyne rozwiązanie powyższego równania.
Czy taka odpowiedź jest wystarczająca?

[Premislav]

Jasne.
Równoważnie: \(\displaystyle{ 3^m=(n-4)(n+4)}\), a to oznacza, że zarówno \(\displaystyle{ n-4}\), jak i \(\displaystyle{ n+4}\) są pewnymi potęgami naturalnymi liczby \(\displaystyle{ 3,}\) takich przypadków nie ma zbyt dużo.

[Krodinor]

Ok, czyli moje rozwiązanie jest poprawne, chyba, że trzeba jeszcze jakoś uzasadnić, że to jedyna taka możliwość.

[Premislav]

No, można by to jakoś uzasadnić, na przykład tak: jeśli naturalne \(\displaystyle{ k, m}\) spełniają \(\displaystyle{ k-m\ge 2}\), to \(\displaystyle{ 3^k-3^m=3^m(3^{k-m}-1)\ge 3^m\cdot (9-1)\ge 9-1=8}\)
z równością dla \(\displaystyle{ m=0, k=2}\).
Natomiast jeśli \(\displaystyle{ k-m=1}\), to \(\displaystyle{ 3^k-3^m}\) nie może być równe \(\displaystyle{ 8}\), bo sprzeczność modulo \(\displaystyle{ 4}\).