Niech \(\displaystyle{ p > 2}\) będzie liczbą pierwszą. Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji \(\displaystyle{ x^{p+1} \equiv 1 \pmod{p^{2017}}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{0, ... , p^{2017} - 1\}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest rozwiązaniem i \(\displaystyle{ 1}\) jest, więc można założyć, że \(\displaystyle{ x > 1}\).
Łatwo również zauważyć, że \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ p^{2017}}\) są parami względnie pierwsze, więc \(\displaystyle{ x \in \ZZ^{*}_{p^{2017}}}\).
Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza rząd elementu \(\displaystyle{ x}\).
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że \(\displaystyle{ k | p^{2016} \cdot (p-1)}\)
Niestety dalej nie wiem jak to poprowadzić. Ktoś pomoże?
Rząd grupy
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Rząd grupy
Ostatnio zmieniony 16 cze 2018, o 23:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Rząd grupy
Jeśli w grupie \(\displaystyle{ x^{n} =e}\) i rząd \(\displaystyle{ x}\) jest równy \(\displaystyle{ d}\) to jaka jest reclacja między \(\displaystyle{ n}\) a \(\displaystyle{ d}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Re: Rząd grupy
hmm.. gdyby \(\displaystyle{ d | n}\) to już dalej zadanie byłoby proste, tylko dlaczego tak musi być?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rząd grupy
Bo tak po prostu jest. Wskazówka: podziel z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ d}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) to rząd elementu. Co by się stało, gdyby ta reszta okazała się niezerowa?
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Re: Rząd grupy
oh wtedy byłoby \(\displaystyle{ x^{m} = e}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest mniejsze od rzędu elementu co jest sprzeczne z definicją rzędu. Dzięki!