Rząd grupy

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Rząd grupy

Post autor: cis123 »

Niech \(\displaystyle{ p > 2}\) będzie liczbą pierwszą. Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji \(\displaystyle{ x^{p+1} \equiv 1 \pmod{p^{2017}}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{0, ... , p^{2017} - 1\}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest rozwiązaniem i \(\displaystyle{ 1}\) jest, więc można założyć, że \(\displaystyle{ x > 1}\).

Łatwo również zauważyć, że \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ p^{2017}}\) są parami względnie pierwsze, więc \(\displaystyle{ x \in \ZZ^{*}_{p^{2017}}}\).

Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza rząd elementu \(\displaystyle{ x}\).

Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że \(\displaystyle{ k | p^{2016} \cdot (p-1)}\)

Niestety dalej nie wiem jak to poprowadzić. Ktoś pomoże?
Ostatnio zmieniony 16 cze 2018, o 23:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Rząd grupy

Post autor: leg14 »

Jeśli w grupie \(\displaystyle{ x^{n} =e}\) i rząd \(\displaystyle{ x}\) jest równy \(\displaystyle{ d}\) to jaka jest reclacja między \(\displaystyle{ n}\) a \(\displaystyle{ d}\)?
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Re: Rząd grupy

Post autor: cis123 »

\(\displaystyle{ d \le n}\), tylko co to daje
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Rząd grupy

Post autor: leg14 »

a relacja podzielności?
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Re: Rząd grupy

Post autor: cis123 »

hmm.. gdyby \(\displaystyle{ d | n}\) to już dalej zadanie byłoby proste, tylko dlaczego tak musi być?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rząd grupy

Post autor: Premislav »

Bo tak po prostu jest. Wskazówka: podziel z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ d}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) to rząd elementu. Co by się stało, gdyby ta reszta okazała się niezerowa?
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Re: Rząd grupy

Post autor: cis123 »

oh wtedy byłoby \(\displaystyle{ x^{m} = e}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest mniejsze od rzędu elementu co jest sprzeczne z definicją rzędu. Dzięki!
ODPOWIEDZ