Liczba rozwiązań kongruencji

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Liczba rozwiązań kongruencji

Post autor: cis123 »

Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} \equiv 0 \pmod{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{i} \in \{0, 1, 2\}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le 6}\), a dwa rozwiązania utożsamiamy, jeśli jedno przechodzi na drugie przez przesunięcie cykliczne (np. \(\displaystyle{ \left\langle 1, 1, 1, 0, 0, 0\right\rangle \eq \left\langle 0, 1, 1, 1, 0, 0\right\rangle \nex \left\langle 1, 0, 1, 1, 0, 0\right\rangle}\))

Pomoże ktoś?
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Liczba rozwiązań kongruencji

Post autor: JakimPL »

Przykłady, które podałeś, nie wskazują na "cykliczne" przesunięcia. Umówmy się, że różne rozwiązania to te, które mają różną sygnaturę, tj. różną liczbę zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 0}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\), zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 1}\) itd.

Sygnaturę zapisywać będę w postaci trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) określa liczbę zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ b}\) - do \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) - do \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ zmiennych jest \(\displaystyle{ 6}\), możemy zastąpić \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ 6-a-b}\).

Jak łatwo sprawdzić, wartość

\(\displaystyle{ x_1+\ldots+x_6}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\)

o sygnaturze \(\displaystyle{ (a,b,6-a-b)}\) możemy określić jako

\(\displaystyle{ 0a+1b+2(6-a-b)\equiv b+ 12 -2a-2b\equiv a-b\pmod{3}}\)

a zatem \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\)

Przy ograniczeniu \(\displaystyle{ 0\leqslant a,b\leqslant 6}\) możemy na palcach zliczyć możliwe rozwiązania, badając możliwe wartości \(\displaystyle{ a,b}\).
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Re: Liczba rozwiązań kongruencji

Post autor: cis123 »

Tam zabrakło znaków. Miało być:

\(\displaystyle{ \left\langle 1,1,1,0,0,0\right\rangle = \left\langle 0, 1, 1, 1, 0 ,0\right\rangle \neq \left\langle 1, 0, 1, 1, 0, 0\right\rangle}\)

Tak więc twoje rozwiązanie chyba nie działa
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Re: Liczba rozwiązań kongruencji

Post autor: JakimPL »

W takim razie dla każdej sygnatury wyznacz liczbę różnych niecyklicznych rozwiązań.
ODPOWIEDZ