Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} \equiv 0 \pmod{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{i} \in \{0, 1, 2\}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le 6}\), a dwa rozwiązania utożsamiamy, jeśli jedno przechodzi na drugie przez przesunięcie cykliczne (np. \(\displaystyle{ \left\langle 1, 1, 1, 0, 0, 0\right\rangle \eq \left\langle 0, 1, 1, 1, 0, 0\right\rangle \nex \left\langle 1, 0, 1, 1, 0, 0\right\rangle}\))
Pomoże ktoś?
Liczba rozwiązań kongruencji
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Liczba rozwiązań kongruencji
Przykłady, które podałeś, nie wskazują na "cykliczne" przesunięcia. Umówmy się, że różne rozwiązania to te, które mają różną sygnaturę, tj. różną liczbę zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 0}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\), zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 1}\) itd.
Sygnaturę zapisywać będę w postaci trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) określa liczbę zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ b}\) - do \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) - do \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ zmiennych jest \(\displaystyle{ 6}\), możemy zastąpić \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ 6-a-b}\).
Jak łatwo sprawdzić, wartość
\(\displaystyle{ x_1+\ldots+x_6}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\)
o sygnaturze \(\displaystyle{ (a,b,6-a-b)}\) możemy określić jako
\(\displaystyle{ 0a+1b+2(6-a-b)\equiv b+ 12 -2a-2b\equiv a-b\pmod{3}}\)
a zatem \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\)
Przy ograniczeniu \(\displaystyle{ 0\leqslant a,b\leqslant 6}\) możemy na palcach zliczyć możliwe rozwiązania, badając możliwe wartości \(\displaystyle{ a,b}\).
Sygnaturę zapisywać będę w postaci trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) określa liczbę zmiennych przystających do \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ b}\) - do \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) - do \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ zmiennych jest \(\displaystyle{ 6}\), możemy zastąpić \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ 6-a-b}\).
Jak łatwo sprawdzić, wartość
\(\displaystyle{ x_1+\ldots+x_6}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\)
o sygnaturze \(\displaystyle{ (a,b,6-a-b)}\) możemy określić jako
\(\displaystyle{ 0a+1b+2(6-a-b)\equiv b+ 12 -2a-2b\equiv a-b\pmod{3}}\)
a zatem \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\)
Przy ograniczeniu \(\displaystyle{ 0\leqslant a,b\leqslant 6}\) możemy na palcach zliczyć możliwe rozwiązania, badając możliwe wartości \(\displaystyle{ a,b}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Re: Liczba rozwiązań kongruencji
Tam zabrakło znaków. Miało być:
\(\displaystyle{ \left\langle 1,1,1,0,0,0\right\rangle = \left\langle 0, 1, 1, 1, 0 ,0\right\rangle \neq \left\langle 1, 0, 1, 1, 0, 0\right\rangle}\)
Tak więc twoje rozwiązanie chyba nie działa
\(\displaystyle{ \left\langle 1,1,1,0,0,0\right\rangle = \left\langle 0, 1, 1, 1, 0 ,0\right\rangle \neq \left\langle 1, 0, 1, 1, 0, 0\right\rangle}\)
Tak więc twoje rozwiązanie chyba nie działa