Wielomian i punkty kratowe.

[MKultra]

Cześć!

Zastanawiam się nad prawdziwością następującego stwierdzenia: Jeżeli wielomian przechodzi przez nieskończenie punktów kratowych to zawsze dla argumentów całkowitych będzie przyjmował wartości całkowite.
Jak to zrobić?
Czy użyteczne jest w tym przypadku twierdzenie interpolacyjne Lagrange'a?

[Premislav]

Na oko ze wzoru interpolacyjnego Lagrange'a dostaniesz tylko wymierność współczynników, co nie wystarcza do stwierdzenia, że dla każdego argumentu całkowitego wielomian przyjmie wartość całkowitą.

Stwierdzenie nie jest prawdziwe, a kontrprzykład jest banalny, wykres \(\displaystyle{ P(x)=\frac 1 3 x}\) przechodzi przez punkty\(\displaystyle{ (3^k, \ 3^{k-1})}\) gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots}\), ale np. \(\displaystyle{ P(2)\notin \ZZ}\)

[MKultra]

W zasadzie szukam jakiegoś warunku(np. tyczącego się rozkładu punktów kratowych przez które by przechodził wielomian) by z niego wynikało, że wielomian dla wartości całkowitych przyjmuje wartości całkowite.