Cześć!
Zastanawiam się nad prawdziwością następującego stwierdzenia: Jeżeli wielomian przechodzi przez nieskończenie punktów kratowych to zawsze dla argumentów całkowitych będzie przyjmował wartości całkowite.
Jak to zrobić?
Czy użyteczne jest w tym przypadku twierdzenie interpolacyjne Lagrange'a?
Wielomian i punkty kratowe.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wielomian i punkty kratowe.
Na oko ze wzoru interpolacyjnego Lagrange'a dostaniesz tylko wymierność współczynników, co nie wystarcza do stwierdzenia, że dla każdego argumentu całkowitego wielomian przyjmie wartość całkowitą.
Stwierdzenie nie jest prawdziwe, a kontrprzykład jest banalny, wykres \(\displaystyle{ P(x)=\frac 1 3 x}\) przechodzi przez punkty\(\displaystyle{ (3^k, \ 3^{k-1})}\) gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots}\), ale np. \(\displaystyle{ P(2)\notin \ZZ}\)
Stwierdzenie nie jest prawdziwe, a kontrprzykład jest banalny, wykres \(\displaystyle{ P(x)=\frac 1 3 x}\) przechodzi przez punkty\(\displaystyle{ (3^k, \ 3^{k-1})}\) gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots}\), ale np. \(\displaystyle{ P(2)\notin \ZZ}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 130
- Rejestracja: 1 lut 2017, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 2 razy
Wielomian i punkty kratowe.
W zasadzie szukam jakiegoś warunku(np. tyczącego się rozkładu punktów kratowych przez które by przechodził wielomian) by z niego wynikało, że wielomian dla wartości całkowitych przyjmuje wartości całkowite.