Żadna z liczb ... nie jest sześcianem liczby naturalnej

[Maurycy]

Wykaż, że żadna z liczb \(\displaystyle{ F_{n} = 2^{2^{n}} + 1, \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots,}\) nie jest sześcianem liczby naturalnej.


Chciałbym dowiedzieć się czy poniższy dowód jest prawidłowy:

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2^{n}} + 1}\) jest nieparzysta. Wziąłem sobie liczbę \(\displaystyle{ m = 0, 1, 2, 3, \ldots,}\)
Sześcian dowolnej liczby naturalnej oznaczam jako \(\displaystyle{ (m+1)^{3}}\).
Aby wyrażenie to było nieparzyste, m musi być liczbą parzystą.

\(\displaystyle{ 2^{2^{n}} + 1 = (m+1)^{3} \\ \\ 2^{2^{n}} + 1 = m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1 \\ \\ 2^{2^{n}}= m(m^{2} + 3m + 3)}\)

Wyrażenie w nawiasie jest zawsze nieparzyste. Lewa strona jest iloczynem samych dwójek, a prawa ma liczbę nieparzystą w rozkładzie na czynniki pierwsze, więc równość nie może zajść.

[Premislav]

Jest OK, fajne rozwiązanie. Ja bym jeszcze uzasadnił, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) naturalnego liczba \(\displaystyle{ m^2+3m+3}\) jest nieparzysta, ale to bardzo proste.