Cześć,
Rozwiązywałem ostatnio zadanie 3 z finału OMGa z roku 2014. Treść:
Dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) mają tę własność, że liczba \(\displaystyle{ 4ab}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a = b}\).
Wydało mi się dość proste, ale potem przeczytałem (które są zazwyczaj dobrze napisane) i zacząłem się zastanawiać, czy mój tok myślenia jest na pewno poprawny. Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 4ab \ge a^{2} + b^{2}}\), ponieważ \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 4ab}\).
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} \ge 2ab}\), co wynika z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.
Tak więc \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 4ab}\) większym równym jego połowie, skąd wywnioskowałem, że jest on równy jego połowie. Dostajemy więc:
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 2ab \Leftrightarrow
(a-b)^{2} = 0 \Leftrightarrow
a = b}\).
Czy w moim rozumowaniu jest błąd?
