Niech n będzie liczbą naturalna oraz niech \(\displaystyle{ a_1\le a_2 \le \dots \le a_n}\) będą liczbami rzeczywistymi takimi że \(\displaystyle{ a_1+2a_2+\dots+na_n=0}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ a_1[x]+a_2[2x]+\dots+a_n[nx] \ge 0}\) dla każdej liczby rzeczywistszej x.
[]-oznacz część całkowitą
Nierównosc z cześcią całkowitą
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ola
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 130
- Rejestracja: 1 lut 2017, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 2 razy
Nierównosc z cześcią całkowitą
Cześć!
Najpierw udowodnię fakt 1. : \(\displaystyle{ a _{1} \le 0}\)
Dowód nie wprost.
\(\displaystyle{ a _{1} > 0}\) wtedy analogicznie każde następne wyrazy będą nie mniejsze niż zero. Zatem
\(\displaystyle{ a _{1}+2a _{2}+...+na _{n} >0}\) Sprzeczność.
Teraz ponieważ \(\displaystyle{ [x]>x-1}\) więc
\(\displaystyle{ a _{1}+[2x]a _{2}+...+[nx]a _{n} \ge x(a _{1}+2a _{2}+...+na _{n})-(a _{1}+a _{2}+...+a _{n}) \ge 0-na _{1} \ge 0}\).
Pozdrawiam.
Najpierw udowodnię fakt 1. : \(\displaystyle{ a _{1} \le 0}\)
Dowód nie wprost.
\(\displaystyle{ a _{1} > 0}\) wtedy analogicznie każde następne wyrazy będą nie mniejsze niż zero. Zatem
\(\displaystyle{ a _{1}+2a _{2}+...+na _{n} >0}\) Sprzeczność.
Teraz ponieważ \(\displaystyle{ [x]>x-1}\) więc
\(\displaystyle{ a _{1}+[2x]a _{2}+...+[nx]a _{n} \ge x(a _{1}+2a _{2}+...+na _{n})-(a _{1}+a _{2}+...+a _{n}) \ge 0-na _{1} \ge 0}\).
Pozdrawiam.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Nierównosc z cześcią całkowitą
Nie rozumiem tego rozwiązania (wprawdzie jest mała literówka, bo w jednym miejscu zgubiłeś \(\displaystyle{ [x]}\), ale to akurat przypadkowy błąd, który na nic nie rzutuje). Przecież z tego, że \(\displaystyle{ a> b}\) nie możemy wnioskować dla dowolnego \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ ac> bc}\). W szczególności jeśli \(\displaystyle{ a_1<0}\), to z nierówności \(\displaystyle{ [x]>x-1}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ a_1[x]>a_1(x-1)}\).-- 8 cze 2018, o 21:18 --Być może w rozwiązaniu zadania przyda się lemat \(\displaystyle{ [x+y]\ge [x]+[y]}\).