Rozkład liczby pierwszej

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y, z, u}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+z^2}{u}=p}\) oraz \(\displaystyle{ 0< u < p}\)

[Premislav]

Od razu przypomina się bardzo mocne twierdzenie Legendre'a:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem

Teraz dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p\ge 7, p
\neq 7\pmod{8}}\) wystarczy dobrać takie \(\displaystyle{ u<p}\), że np. \(\displaystyle{ u\equiv 1\pmod{8}}\) (choćby \(\displaystyle{ u=p-6}\)) i twierdzenie Legendre'a załatwi sprawę, natomiast jeżeli \(\displaystyle{ p\equiv 7\pmod{8}}\), to np. \(\displaystyle{ p-1\equiv 6\pmod{8}}\) i można wziąć \(\displaystyle{ u=p-1}\), a wtedy \(\displaystyle{ up\equiv 2\pmod{8}}\), czyli liczba \(\displaystyle{ up}\) nie jest w postaci \(\displaystyle{ 4^a(8b+7)}\) dla żadnych \(\displaystyle{ a,b}\) całkowitych nieujemnych.
No i zostają jakieś małe przypadki \(\displaystyle{ 2,3,5}\), które można rozważyć na palcach, co nie jest zbyt pasjonujące.

Ale może istnieje znacznie bardziej elementarne rozwiązanie? Ze względu na brak uzdolnień matematycznych nie podejmę się odpowiedzi.