Czy prawdziwa jest nierówność:

[Biel124]

Dla dowolnych trzech dodatnich trzech liczb rzeczywistych: \(\displaystyle{ a,b,c}\), takich, że:
\(\displaystyle{ a+b+c-\max \left\{a,b,c\right\} >\max \left\{a,b,c\right\}}\), zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac-2bc \le 0}\)

[Premislav]

Ten warunek, który na pierwszy rzut oka może się wydawać enigmatyczny, oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków pewnego trójkąta. Można zatem zastosować klasyczne podstawienie Raviego:
\(\displaystyle{ a=x+y, \ b=y+z, \ c=z+x}\)
dla dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\).
Patrz np. ... _trojkata/

Po takim podstawieniu dostajemy taką oto nierówność:
\(\displaystyle{ (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2-2(x+y)(y+z)-2(x+y)(z+x)-2(y+z)(z+x)\le 0}\)

Uporządkuj to itd. Powinieneś dojść do jakiejś znanej nierówności, typu
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx}\).

[Biel124]

To znaczy ja do tego doszedłem obliczając wysokość trójkąta kiedy znane są jego trzy boki i wyszło wyrażenie pod pierwiastkiem, wiec musi być dodatnie albo równe zeru, tylko chciałem sprawdzić, czy nie popełniłem żadnego błędu...

[Premislav]

Dobra, akurat \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx}\) z tego nie wyjdzie, pomyliłem się licząc w pamięci, ale i tak wyjdzie coś prawdziwego, bodajże nierówność równoważna oczywistej \(\displaystyle{ xy+yz+zx>0}\) w dodatnich.

[Biel124]

no ok z Twojego wychodzi bezpośrednio