Prawidłowy dowód pierwszości?

[SkitsVicious]

Udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{2} + 2}\) są pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ p ^{3}+2}\) także jest pierwsza.

No to zacząłem tak: Jeżeli liczba \(\displaystyle{ p ^{2}+2}\) jest pierwsza to na pewno \(\displaystyle{ p>2}\). W takim wypadku \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k \vee 3k+1 \vee 3k+2}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\). Dla \(\displaystyle{ p=3k+1}\) i \(\displaystyle{ p=3k+2}\) liczba \(\displaystyle{ p^{2} + 2}\) jest złożona, więc \(\displaystyle{ p=3k}\). Jedyną liczbą pierwszą, którą da się opisać wzorem \(\displaystyle{ p=3k}\) jest 3, więc \(\displaystyle{ p=3}\). Po podstawieniu tego do \(\displaystyle{ p ^{3}+2}\) otrzymujemy 29, a 29 jest pierwsze.

Czy taki dowód jest kompletny, bo mam pewne wątpliwości.

[Premislav]

Tak, jest OK.