Rozwią ż w liczbach całkowitych dodatnich równanie

[woj186]

Rozwiąż w liczbach całkowitych dodatnich równanie \(\displaystyle{ x(y+1)^{2} = 243y}\).

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y+1}\) to także \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ (y+1)^2}\) (bo liczba \(\displaystyle{ 3}\) jest pierwsza), stąd sprzeczność modulo \(\displaystyle{ 3}\).
Zatem musi być \(\displaystyle{ 3|y+1}\), czyli \(\displaystyle{ y\equiv 2\pmod{3}}\). Ponadto \(\displaystyle{ 243=3^5}\). Stąd \(\displaystyle{ 3^5|243y \wedge 3^6\nmid 243y}\). Czyli także \(\displaystyle{ 3^5|(y+1)^2\wedge 3^6\nmid (y+1)^2}\). Jednak \(\displaystyle{ 3}\) wchodzi do rozkładu kwadratu liczby całkowitej na czynniki pierwsze z parzystym wykładnikiem. Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli rozwiązanie równania w całkowitych dodatnich nie istnieje.

[woj186]

Przepraszam, ale w poleceniu do zadania nastąpiła pomyłka, uciekł \(\displaystyle{ x}\).

[Premislav]

No to naprawdę dużo zmienia.

Niech \(\displaystyle{ v_3(x)=a}\) oraz \(\displaystyle{ v_3(y)=b}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\), to z poprzedniego rozumowania łatwo mamy sprzeczność, zatem \(\displaystyle{ a\ge 1}\). Jeżeli teraz \(\displaystyle{ b>0}\), to w sposób oczywisty \(\displaystyle{ v_3((y+1)^2)=0}\) i \(\displaystyle{ v_3(x(y+1)^2)=a}\), więc skoro \(\displaystyle{ 243=3^5}\), to \(\displaystyle{ a=b+5}\). Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 3^a=3^{b+5}}\) i wstawiając \(\displaystyle{ z=3^{-a}x, \ t=3^{-b}y}\) mamy
\(\displaystyle{ z(3^b t+1)^2=t}\), ale skoro \(\displaystyle{ z,t\in \NN^+}\), to
\(\displaystyle{ z(3^bt+1)^2\ge (3^bt+1)^2>(t+1)^2>t}\), sprzeczność.
Niech więc \(\displaystyle{ b=0}\).
Wówczas mamy przypadki
\(\displaystyle{ 1) \ a=5 \wedge v_3((y+1)^2)=0, \\ 2) \ a=3 \wedge v_3(y+1)^2=2\\3) \ a=1\wedge v_3((y+1)^2)=4}\)

W przypadku 1) dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 3^5=243}\), wstawiamy \(\displaystyle{ 3^{-5}x=z, \ z\in \ZZ^+}\)
i mamy \(\displaystyle{ z(y+1)^2=y}\), co znów prowadzi do sprzeczności, bo lewa strona jest większa od prawej.
W przypadku 2) podstawiamy \(\displaystyle{ 3^{-3}x=z}\), a także \(\displaystyle{ \frac{y+1}{3}=r}\), gdzie \(\displaystyle{ z,r\in \ZZ^+, \ 3\nmid z, \ 3\nmid r}\). Otrzymujemy taką postać:
\(\displaystyle{ zr^2=3r-1}\)
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ z\ge 3}\), to lewa strona jest większa od prawej, zatem musi być \(\displaystyle{ z=1}\) lub \(\displaystyle{ z=2}\). Jeśli \(\displaystyle{ z=1}\), to dostajemy równanie \(\displaystyle{ r^2-3r+1=0}\), które nie ma rozwiązań całkowitych dodatnich (zwykłe równanie kwadratowe), zaś dla \(\displaystyle{ z=2}\) mamy \(\displaystyle{ 2r^2-3r+1=0 \Leftrightarrow (r-1)(2r-1)=0}\), jedyne całkowite rozwiązanie to \(\displaystyle{ r=1}\), czyli\(\displaystyle{ z=3^{-3}x=2}\) oraz \(\displaystyle{ r=\frac{y+1}{3}=1}\), stąd rozwiązaniem w przypadku 2) jest \(\displaystyle{ x=54, \ y=2}\).
Przypadek 3) można rozważyć jakoś podobnie (wstawiamy wówczas \(\displaystyle{ z=3^{-1}x}\) oraz \(\displaystyle{ t=\frac{y+1}{9}}\) i mamy po przekształceniach równanie \(\displaystyle{ zt^2=9t-1}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\) nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 3}\), no i widać, że wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ z\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\)), ale już mi się nie chce, bo i tak wyszła ściana tekstu. Być może zaraz przyjdzie jakiś olimpijczyk i poda rozwiązanie w jednej linijce.

-- 6 maja 2018, o 22:36 --

W każdym razie ostatecznie jedyne rozwiązania, jakie mi wyszły, to \(\displaystyle{ x=54, \ y=2}\) oraz
\(\displaystyle{ x=24, \ y=8}\).

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ x(y+1)^{2} = 243y}\)
Ponieważ mamy \(\displaystyle{ \NWD(y+1, y) = \NWD((y+1)^2, y) = 1}\), to
\(\displaystyle{ x = ky}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z}\)
Dzielimy przez \(\displaystyle{ y}\), bo \(\displaystyle{ y>0}\) i pozostaje nam równanie
\(\displaystyle{ k(y+1)^2 = 243}\)
\(\displaystyle{ 243 = 3^5}\), więc z jednoznaczności rozkładu \(\displaystyle{ (y+1)^2 = 3^4}\) i \(\displaystyle{ k=3}\) lub \(\displaystyle{ (y+1)^2 = 3^2}\) i \(\displaystyle{ k =27}\), lub ostatecznie wygenerowane nie-rozwiązanie \(\displaystyle{ (y+1)^2 = 1}\) i \(\displaystyle{ k = 243}\), sprzeczne bo stąd \(\displaystyle{ y = 0}\), ale \(\displaystyle{ y>0}\)

Zatem \(\displaystyle{ y = 8 \wedge x = 24 \vee y = 2 \wedge x = 54}\)

Na życzenie Pana Premislav

[Premislav]

O, dobre Pewnie o coś takiego chodziło.
Na moim przykładzie niestety widać, że bystrości nie można wykształcić (albo się to ma, albo nie), co najwyżej pewną sprawność techniczną.