Rozkład na czynniki

[pow3r]

Rozłóż na czynniki:
a) \(\displaystyle{ 2 ^{11}-1=2047}\)
b)\(\displaystyle{ 3 ^{15}-1=14348906}\)

[Premislav]

a) Wg wolframalpha.com \(\displaystyle{ 2047=23\cdot 89}\), nie bardzo widzę, skąd to wziąć. Z MTF mamy tylko, że \(\displaystyle{ 2^{22}\equiv 1\pmod{23}}\) i stąd \(\displaystyle{ 2^{11}\equiv 1\pmod{23}\vee 2^{11}\equiv -1\pmod{23}}\), ale obawiam się, że nic więcej z tego nie wyciągniemy.
Ponieważ liczba \(\displaystyle{ 11}\) jest pierwsza i \(\displaystyle{ 2-1=1}\) (wow), to wzór na różnicę n-tych potęg nic nam nie da.
b) \(\displaystyle{ (3^5)^3-1^3=(3^5-1)(3^{10}+3^5+1)}\) itd.

[Elayne]

a) Rozkład \(\displaystyle{ 2^{11}-1}\) otrzymujemy od razu korzystając z tego:

If \(\displaystyle{ p}\) is a prime dividing \(\displaystyle{ b^n - 1}\), then either (i) \(\displaystyle{ P|b^d - 1}\) for some proper divisor \(\displaystyle{ d}\) of \(\displaystyle{ n}\), or else (ii) \(\displaystyle{ p \equiv 1 mod \ n}\) . If \(\displaystyle{ p > 2}\) and \(\displaystyle{ n}\) is odd, then in case (ii) one has \(\displaystyle{ p \equiv 1 \ mod \ 2n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ 2^{11}-1}\) to \(\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{22}}\) zatem \(\displaystyle{ p = 23, 67,89 \ldots}\) .