Równanie diofantyczne

[Piasek96]

Rolnik zakupił 100 sztuk zwierząt za 4000 złotych. Konie kosztowały 120 złotych każdy, owce 50 każda, kozy 25 każda. Ile sztuk każdego ze zwierząt zakupił, zakładając, że z każdego gatunku zakupił co najmniej jedną sztukę?

[kerajs]

Zauważ że ilość zakupionych koni musi być wielokrotnością liczby 5.
Rozwiąż układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} k+o+z=100 \\ 120k+50o+25z=4000 \end{cases}}\)
dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 5,10,15,20,15,30\right\}}\)

rozwiązania:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} k=5 \\ o=41 \\ z=54 \end{cases} \vee \begin{cases} k=10 \\ o=22 \\ z=68 \end{cases} \vee \begin{cases} k=15 \\ o=3 \\ z=82 \end{cases}}\)

[Piasek96]

A dlaczego konii bo nie rozumiem

[kerajs]

Rolnik zapłacił 4000 zł. Gdyby zakupił inną ilość koni niż wielokrotność 5 to kwota za nie wynosiłaby:
xy20, xy40, xy60, xy80 złotych. Jednak cena za pozostałe zwierzęta może jedynie wynosić: uz00,uz25,uz50,uz75 więc z ceną za konie nigdy nie da końcówki ab00.
Wniosek:
Koni musi być wielokrotność 5 aby kwota za nie wydana wynosiła xy00, co z ceną za owce i kozy wynoszącą uz00 da 4000.

PS
Podobnie możesz wykazać że kóz musi być parzysta liczba.