Cześć. Zastanawiam się ostatnio nad możliwością rozkładu liczb naturalnych na sumę liczb Fibonacciego. Zacząłem od dość mocnego twierdzenia iż każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę
\(\displaystyle{ 2}\) liczb Fibonacciego. Twierdzenie to okazuje się być nieprawdziwe, co pokazuje przykład
\(\displaystyle{ 17}\). Osłabienie twierdzenia to możliwość wykorzystania
\(\displaystyle{ 3}\) liczb Fibonacciego, lecz tu również mamy za mało liczb by móc reprezentować wszystkie liczby naturalne.
Heurystycznie czuje że ciąg Fibonacciego jest zbyt "rzadki" w liczbach naturalnych i dla bardzo dużych liczb (niektórych) będzie trzeba użyć dużej ilości liczb Fibonacciego.
Rozważmy na koniec ciąg
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_n}\) zdefiniowany jako: minimalna liczba liczb Fibonacciego jaka pozwoli zapisać wszystkie liczby mniejsze równe
\(\displaystyle{ n}\) jako suma liczb Fibonacciego.
Zastanawiam się czy ciąg
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_n}\) jest ograniczony. A jeśli nie jest (co podejrzewam) to jakie jest jego asymptotyczne tempo wzrostu wraz ze zwiększaniem się
\(\displaystyle{ n}\)?
