Dowód twierdzenia

[daga791]

Jak pokazać, że jeśli\(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są multiplikatywne to \(\displaystyle{ h}\) zdefiniowana wzorem \(\displaystyle{ h(n)= \sum_{k|m}f(k)g(k)}\) jest multplikatywna?

[PoweredDragon]

A czy zachodzi \(\displaystyle{ m=n}\)?

[daga791]

A przepraszam, faktycznie napisałam błędnie. Powinno byc:
\(\displaystyle{ h(n)= \sum_{k|n}f(k)g(k)}\)

[Piotr Rutkowski]

Czy to na pewno jest prawda? Nie ma jakichś ograniczeń?
Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ t=f\cdot g}\)
Funkcja ta jest również multiplikatywna.
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ 2<p\in \mathbb{P}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ h(p)\cdot h(p)=(t(1)+t(p))^{2}=t(1)+2t(p)+t(p^{2})}\), ale
\(\displaystyle{ h(p^{2})=t(1)+t(p)+t(p^{2})}\), więc tutaj multiplikatywność \(\displaystyle{ h}\) implikuje \(\displaystyle{ t\equiv 0}\)

Wydaje mi się, że twierdzenie będzie zachodzić tylko w szczególnym przypadku tzn. \(\displaystyle{ h(n)h(p)=h(pn)}\) dla przypadku \(\displaystyle{ (p\in \mathbb{P}) \wedge (p\not | n)}\).

[daga791]

Mam napisane w ksiązce tak. Ze dowod wynika z twierdzenia: Niech\(\displaystyle{ f,g,h \in \mathbb{A}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ h=f*g}\). Jesli dwie sposrod funkcji \(\displaystyle{ f,g,h}\) są multiplikatywne to trzecia również.

I jest napisane ze z tego twierdzenia, dla \(\displaystyle{ h=(f \cdot g)*I}\), a oczywiscie \(\displaystyle{ f \cdot g}\) jest multiplikatywna.
Kompletnie tego nie rozumiem.