Funkcje multiplikatywne

[daga791]

Jak udowodnić poniższe twierdzenie?
Niezerowa funkcja arytmetyczna f jest multiplikatywna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych parami roznych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1,... p_s}\) i dowolnych nieujemnych liczb calkowitych \(\displaystyle{ \alpha _{1},...\alpha_s}\), zachodzi równość
\(\displaystyle{ f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )}\)
Profesor mi kazał indukcyjnie po s, ale za bardzo nie rozumiem . Prosze o pomoc.

[PoweredDragon]

Definicja funkcji multiplikatywnej mówi, że dla liczb względnie pierwszych a i b masz
\(\displaystyle{ f(a)f(b) = f(ab)}\)

Zatem z łatwością z postaci
\(\displaystyle{ f(a_1 ... a_n) = f(a_1 ... a_k) f(a_{k+1} ... a_n})}\) i można powtarzać ten cykl aż do postaci \(\displaystyle{ f(p_1 ^{b_1})f(p_2 ^{b_2})...f(p_s ^{b_s})}\)

A w drugą stronę? spróbuj coś pogłówkować...

[daga791]

Dla n=1 będzie równość, a co dalej?
\(\displaystyle{ (p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})p_{s+1}^{\alpha_{s+1}}}\) ?

[PoweredDragon]

Pokazaliśmy, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest multiplikatywna, to zachodzi
\(\displaystyle{ f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )}\)

Teraz trzeba pokazać, że jeśli zachodzi
\(\displaystyle{ f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )}\)
to \(\displaystyle{ f}\) jest multiplikatywna

Otóż można to pokazać na prostej zasadzie.

Podstawiając \(\displaystyle{ p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}} = a}\)
\(\displaystyle{ p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}} = b}\)
dla pewnych ciągów takich, że ciąg \(\displaystyle{ (a_1, a_2, ... a_k, b_1, b_2, ..., b_l)}\) jest permutacją ciągu \(\displaystyle{ (1, 2, 3, ..., s)}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(ab) = f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}} p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}}) =f(p_{a_1}^\alpha_{a_1})...f(p_{a_k}^\alpha_{a_k})f(p_{b_1}^\alpha_{b_1})...f(p_{b_l}^\alpha_{b_l})}\), ale przecież
\(\displaystyle{ f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}})...f(p_{a_k}^{\alpha_{a_k}})=f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}}) = f(a)}\)
Oraz \(\displaystyle{ f(p_{b_1}^{\alpha_{b_1}})...f(p_{b_l}^{\alpha_{b_l}})= f(p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}}) = f(b)}\)
A zatem
\(\displaystyle{ f(ab)=f(a)f(b)}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest multiplikatywna, c.b.d.o.